UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais A, P1 - 2017.2, Questão 2b
Considere a seguinte EDO:
Encontre, se possível, um fator integrante que transforme a equação dada em uma equação exata ( só depende da variável ).
Passo 1
Oiie, tudo bem?
Temos a seguinte equação diferencial ordinária
estamos procurando um fator integrante que a torne uma equação diferencial exata! Para isso devemos identificar duas razões, sendo elas
e
em que e como demonstramos na alternativa anterior. Das razões acima, a que nos interessa é aquela que depende de apenas uma das variáveis! Vamos partir daí!
Passo 2
Na última alternativa nós obtivemos que
e
Usando estes resultados em nossas razões, temos que
e
Note que é uma função apenas de , portanto iremos utilizar ela para encontrar o fator integrante que queremos! Bora lá!
Passo 3
O fator integrante que torna nossa equação diferencial em uma equação diferencial exata é tal que
Substituindo , temos que
em que usei
mas, por enquanto, podemos ignorar a constante de integração! Apenas usando uma propriedade do logaritmo, podemos escrever
como a exponencial e o logaritmo neperiano são funções inversas, podemos identificar que
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!