Equações Exatas e Quase Exatas
Ao encontrar um fator integrante da forma de modo a tornar exata a equação diferencial, descreva suas soluções:
Passo 1
Ele disse que quer transformar essa EDO em uma EDO exata com o fator integrante. O fator integrante é aquele cara que multiplicamos a EDO para que ela passe a ser exata. Nesse caso ele já deu a cara do fator integrante, então vamos multiplicar a EDO por ele e ver quando ela vai ser exata.
Passo 2
Vamos ter
Multiplicando a EDO por isso vamos ter
A cara da equação exata é
Então temos
E
Vamos usar o critério ode Euler e ver se é igual a
E
Assim devemos ter
Vamos analisar isso com calma no próximo passo.
Passo 3
Queremos achar e para que
Queremos isso sempre certo? Então os caras com coeficientes iguais devem ser iguais dos dois lados. Assim precisamos ter
Assim nos diz que
E pela primeira equação temos só uma verificação se isso é certo,
Então esses dois valores valem para as duas equações, e assim vamos ter
Passo 4
A nossa nova equação vai ser encontrada multiplicando aquela do enunciado pelo fator integrante
Vamos ter
E
A primeira coisa que fazemos é integrar em relação a
Passo 5
Agora vamos derivar em relação a e comparar com
E vamos ter
E
Assim vamos ter
Passo 6
A solução da nossa equação exata vai ser
Já temos a nossa função potencial, então
Podemos juntar em uma constante só