UERJ, Sem Campus, Listas de EDO - Profº Eduardo Vasquez - Lista 4, Questão B.14
Para cada uma das EDOs a seguir, verifique que ela é não-exata; determine então um fator integrante g, função de somente uma das variáveis; e a seguir obtenha a solução geral da EDO.
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Passo 1
Eaew, belezinha?
Primeiro temos que verificar que a EDO não é exata
Sendo que, para uma EDO do tipo:
não é exata quando
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Nessa situação, vamos encontrar um fator integrante que permite que a equação seja exata, sendo esse fator multiplicado na equação:
permitindo que:
E sua solução obedece a relação:
.
Primeiro vamos determinar o fator de integração, se supormos que ele depende de x, temos que ele obedece a seguinte relação:
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Se o lado direito dessa relação depender apenas de x, podemos integrar e obter:
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Também podemos fazer um procedimento semelhante se supormos que o fator integrante depende de y:
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Então, identificando
;
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Vamos verificar que a EDO não é exata, obter o fator integrante e a solução geral. Então vamos lá!
Passo 2
Passo 3
Primeiro vamos calcular as derivadas parciais:
Então, temos que a EDO não é exata, pois
.
Passo 4
Vamos supor que o fator integrante depende de x, então:
.
Vamos calcular essa integral,
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Então,
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Passo 5
Assim, podemos começar a obter a solução. Primeiro vamos reescrever, multiplicando pelo fator de integração e verificando que a equação é exata:
.
Então agora a equação é exata, pois:
.
Passo 6
Temos que a solução obedece a relação:
Vamos resolver a integral:
Resolvendo as integrais simples, temos que
.
Passo 7
O próximo passo será resolver a derivada parcial:
Então, agora podemos resolver a integral:
.
Passo 8
Agora vamos substituir na relação para a solução geral:
Assim, temos a solução:
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A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!
Resposta
, .