USP, Sem Campus, Cálculo 3, Lista de Exercícios - USP - Lista 2 - 2022.1, Questão 22
Um campo de vetores em se diz radial (ou central) se existe uma função tal que onde Suponha que é de classe . Mostre que é conservativo.
Passo 1
Para mostrar que um campo de vetores em é conservativo, precisamos verificar se ele satisfaz as condições do teorema fundamental do cálculo para campos conservativos, que diz que um campo vetorial é conservativo se, e somente se, a integral de linha ao longo de qualquer caminho fechado é zero.
Dado o campo de vetores onde é uma função de classe de em queremos verificar se a integral de linha ao longo de qualquer caminho fechado é zero.
Vamos denotar um caminho fechado como e parametrizá-lo por , onde e pois o caminho é fechado.
A integral de linha do campo ao longo do caminho é dada por:
Aqui, são as derivadas de em relação a respectivamente.
Passo 2
Agora, usamos o fato de que e, portanto Isso nos permite escrever:
Simplificando ainda mais:
Agora, usando o Teorema Fundamental do Cálculo para uma função composta, sabendo que g é , podemos derivar a função composta em relação a :
Passo 3
Simplificando:
Agora, substituímos isso na integral de linha:
Passo 4
Reconhecemos que é a derivada de uma função em relação a .
Portanto, a integral acima é a integral de uma derivada e, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a integral é igual à diferença da função avaliada nos pontos finais do intervalo
Dado que o caminho é fechado, temos o que significa que
Isso implica que portanto:
A subtração acima resulta em zero:
Isso mostra que o campo de vetores F é conservativo, pois a integral de linha ao longo de qualquer caminho fechado é zero.
Portanto, o campo F é conservativo quando g é de classe .
Resposta
Portanto, o campo F é conservativo quando g é de classe .