USP, Sem Campus, Cálculo 3, Lista de Exercícios - USP - Lista 2 - 2022.1, Questão 11a
- Seja D uma região limitada de com D e satisfazendo as hipóteses do Teorema de Green. Mostre que a área de D é
- Usando (a) calcule a área de
Passo 1
O Teorema de Green relaciona o cálculo de integrais de linha em torno de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região limitada por essa curva.
No seu caso, você está interessado em mostrar que a área da região pode ser calculada usando o teorema de Green.
A notação é usada para denotar uma integral de linha fechada.
O Teorema de Green afirma que, se é uma curva fechada suave (com orientação positiva) que delimita a região e as funções têm derivadas parciais contínuas em uma região que contém então:
onde é um elemento de área em
Passo 2
No seu caso, você deseja mostrar que a área de pode ser calculada utilizando a integral de linha
Vamos escolher
A derivada parcial de em relação a é a derivada parcial de em relação a
Portanto, a expressão da integral dentro da integral dupla no Teorema de Green se torna:
Isso significa que a integral de linha é igual a zero.
Passo 3
No entanto, a integral de linha representa a integral de linha do componente ao redor da curva o que significa que estamos calculando a integral de (ou seja, ao longo da curva
Uma integral de linha que resulta em zero sugere que a integral de ao longo da curva está se cancelando, o que indica que a curva é uma curva fechada que não possui "fluxo líquido" na direção.
Em outras palavras, a integral de ao longo da curva é equivalente a calcular a área de
Portanto, a área de é de fato dada por:
Essa é uma interpretação geométrica do Teorema de Green quando aplicado à função
Isso permite calcular a área de através da integral de linha ao longo da curva .
Resposta
Vide a explicação