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Exercícios Resolvidos de Teorema de Green

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 3, Lista de Exercícios - USP - Lista 2 - 2022.1, Questão 11b

b) Usando (a) calcule a área de

(i) D = x , y ∈ R 2   : x 2 a 2 + y 2 b 2 ≤ 1 ;

(ii) D = x , y ∈ R 2   : x 2 3 + y 2 3 ≤ a 2 3

Passo 1

O resultado da letra a) nos diz que

Á r e a D =   ∮ x d y = ∮ - y d x

Então vamos utilizar esse resultado e calcular a área da região D que nos foi dada. Para (i), é interessante que nós encontremos uma parametrização adequada, iremos utilizar

x a = cos ⁡ t

y b = sin ⁡ t

Colocando então na integral

∫ 0 2 π a cos ⁡ t b cos ⁡ t d t

a b ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ t d t

a b ∫ 0 2 π 1 + cos ⁡ 2 t 2 d t

a b 2 ∫ 0 2 π 1 + cos ⁡ 2 t d t

a b 2 2 π + - 1 4 sin ⁡ 4 π + 1 4 sin ⁡ 0

a b π

Passo 2

Agora para (ii) Vamos utilizar

x = acos 3 ⁡ t

y = asin 3 ⁡ t

Pois essa é a parametrização de um astroide, substituindo na equação

Substituindo

∫ 0 2 π acos 3 ⁡ t ( 3 a sin 2 ⁡ t cos ⁡ t ) d t

3 ∫ 0 2 π a 2 cos 4 ⁡ t ( sin 2 ⁡ t ) d t

Usando a identidade trigonométrica

3 ∫ 0 2 π a 2 cos 4 ⁡ t ( 1 - cos 2 ⁡ t ) d t

3 ∫ 0 2 π a 2 cos 4 ⁡ t d t - 3 ∫ 0 2 π a 2 cos 6 ⁡ t d t

Para o cosseno temos a seguinte formula de recorrência para integração

∫ cos n ⁡ x d x = 1 n cos n - 1 ⁡ x sin ⁡ x + n - 1 n ∫ cos n - 2 ⁡ x d x

Para o nosso caso

3 a 2 1 4 cos 3 ⁡ t sin ⁡ t + 4 - 1 4 ∫ cos 2 ⁡ t d t 0 2 π

3 a 2 1 4 cos 3 ⁡ t sin ⁡ t + 4 - 1 4 1 2 t + 1 2 sin ⁡ 2 t 0 2 π

3 a 2 1 4 cos 3 ⁡ 2 π sin ⁡ 2 π + 4 - 1 4 1 2 2 π + 1 2 sin ⁡ 4 π - 3 a 2 1 4 cos 3 ⁡ 0 sin ⁡ 0 + 4 - 1 4 1 2 0 + 1 2 sin ⁡ 0

9 π a 2 4

Agora iremos calcular para a segunda integral

Passo 3

3 ∫ 0 2 π a 2 cos 6 ⁡ t d t

3 a 2 1 6 cos 5 ⁡ t sin ⁡ t + 6 - 1 6 ∫ cos 4 ⁡ t d t 0 2 π

temos então uma parte que a gente já conhece o resultado ali,

3 a 2 1 6 cos 5 ⁡ 2 π sin ⁡ 2 π - 1 6 cos 5 ⁡ 0 sin ⁡ 0 + 5 6 ∙ 9 π a 2 4

15 8 π a 2

E como resultado final

9 π a 2 4 - 15 8 π a 2

3 π a 2 8

Resposta

3 π a 2 8

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