USP, Sem Campus, Cálculo 3, Lista de Exercícios - USP - Lista 2 - 2022.1, Questão 15c
Calcule
- é a fronteira da região limitada pelas curvas e com orientada no sentido horário.
- , onde é a curva percorrida do ponto
- , onde é a circunferência orientada no sentido horário
- , onde é a fronteira da , no sentido horário.
Passo 1
Dada a integral de linha ao longo da circunferência no sentido horário, vamos calcular a integral usando coordenadas polares.
Parametrizamos a curva em coordenadas polares como onde varia de a para percorrer a curva no sentido horário.
Calculamos os diferenciais
Passo 2
Substituindo na integral:
Aqui, usamos para simplificar no denominador.
Passo 3
Agora, observe que , o que nos leva a:
Passo 4
Agora, substituímos
Passo 5
A primeira integral é uma integral constante, e a segunda integral pode ser simplificada:
Aqui, notamos que a integral resultante
não depende de e é igual a (uma identidade trigonométrica padrão).
Passo 6
Portanto, a integral original é:
Substituindo (o raio da circunferência), obtemos a resposta final:
Resposta
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