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Exercícios Resolvidos de Caso Escalar

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 3, Lista de Exercícios - USP - Lista 2 - 2022.1, Questão 15c

Calcule

  1. ∫ γ - y d x + x d y x 2 + y 2 ,   o n d e   γ   é a fronteira da região limitada pelas curvas y 2 = 2 ( x + 2 ) e x = a , com a > 0 ,   orientada no sentido horário.
  2. ∫ γ x d x + y d y x 2 + y 2 , onde γ é a curva y = x 2 + 1 ,   - 1 ≤ x ≤ 2 , percorrida do ponto - 1,2   a   2,5 .
  3. ∫ γ y d x - x - 1 d y x - 1 2 + y 2 , onde γ é a circunferência x 2 + y 2 = 4 , orientada no sentido horário .
  4. ∫ γ x 2 y d x - x 3 d y x 2 + y 2 2 , onde γ é a fronteira da R = x , y ∈   R 2 : x ≤ 1 ,   y ≤ 1 , no sentido horário.

Passo 1

Dada a integral de linha ∫ γ y d x - x - 1 d y x - 1 2 + y 2   ao longo da circunferência   γ :   x 2   +   y 2   =   4 no sentido horário, vamos calcular a integral usando coordenadas polares.

Parametrizamos a curva γ em coordenadas polares como x   =   r cos ⁡ θ   e   y   =   r sin ⁡ θ , onde 0 ≤   r ≤   2   e   θ varia de π a 0   para percorrer a curva no sentido horário.

Calculamos os diferenciais d x   e   d y

d x   = d x d θ d θ =   - r sin ⁡ θ d θ

d y   = d y d θ d θ   =   r cos ⁡ θ d θ

Passo 2

Substituindo d x   e   d y na integral:

∫ γ y d x - x - 1 d y x - 1 2 + y 2

= ∫ π 0 r sin ⁡ θ ⋅ - r sin ⁡ θ - r cos ⁡ θ - 1 ⋅ r cos ⁡ θ d θ r cos ⁡ θ - 1 2 + r 2 sin 2 ⁡ θ

= ∫ π 0 - 2 r 2 sin 2 ⁡ θ 2 + 2 r cos ⁡ θ d θ

= - r 2 ∫ π 0 sin 2 ⁡ θ 1 + r cos ⁡ θ

Aqui, usamos d x 2 + d y 2 = r 2   d θ 2 para simplificar x 2 +   y 2 no denominador.

Passo 3

Agora, observe que d d θ 1 + r cos ⁡ θ = - r sin ⁡ θ , o que nos leva a:

- r 2 ∫ π 0 sin 2 ⁡ θ 1 + r cos ⁡ θ

= - r 2 1 r ∫ π 0 sin 2 ⁡ θ 1 r + cos ⁡ θ d θ

= - r   ∫ π 0 sin 2 ⁡ θ 1 r + cos ⁡ θ d θ

Passo 4

Agora, substituímos sin 2 ⁡ θ   =   1   -   c o s 2   θ :

= - r   ∫ π 0 sin 2 ⁡ θ 1 r + cos ⁡ θ d θ

= - r ∫ π 0 1 - cos 2 ⁡ θ 1 r + cos ⁡ θ d θ

= - r ∫ π 0 1 1 r + cos ⁡ θ d θ + r ∫ π 0 cos 2 ⁡ θ 1 r + cos ⁡ θ d θ

Passo 5

A primeira integral é uma integral constante, e a segunda integral pode ser simplificada:

r ∫ π 0 cos 2 ⁡ θ 1 r + cos ⁡ θ d θ

= r ∫ π 0 cos 2 ⁡ θ 1 + cos ⁡ θ r d θ

= r ∫ π 0 cos 2 ⁡ θ 1 + r cos ⁡ θ d θ

Aqui, notamos que a integral resultante

∫ π 0 cos 2 ⁡ θ 1 + r cos ⁡ θ d θ

não depende de r e é igual a 2 π (uma identidade trigonométrica padrão).

Passo 6

Portanto, a integral original é:

= - r ∫ π 0 1 1 r + cos ⁡ θ d θ + r ∫ π 0 cos 2 ⁡ θ 1 r + cos ⁡ θ d θ

= - r - π + 2 π

= - r π + 2 r π

= r π

Substituindo r = 2   (o raio da circunferência), obtemos a resposta final:

= 2 π

Resposta

2 π

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