USP, Sem Campus, Cálculo 3, Lista de Exercícios - USP - Lista 2 - 2022.1, Questão 1
Seja uma curva plana simples, fechada e lisa por partes, percorrida uma vez no sentido horário. Dê todos os valores possíveis para
Passo 1
A integral dada
está relacionado ao conceito de integral de linha, onde estamos calculando a integral de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada
O campo vetorial é dado por e estamos interessados em calcular a integral de linha , onde dr é o vetor tangente à curva
No entanto, a escolha do sentido de percorri mento da curva é importante, pois o integral de linha pode ter valores diferentes dependendo disso.
Se é percorrida no sentido anti-horário, o sinal do integral será positivo, enquanto se é percorrida no sentido horário, o sinal do integral será negativo.
Passo 2
A curva é percorrida no sentido horário, então vamos calcular o integral considerando essa orientação.
Agora, para calcular o integral, podemos usar o Teorema de Green, que relaciona o integral de linha de um campo vetorial ao redor de uma curva fechada com a integral dupla sobre a região delimitada pela curva.
O Teorema de Green afirma:
onde é o campo vetorial e D é a região delimitada pela curva γ.
Passo 3
No nosso caso, então e
Calculando as derivadas parciais:
Portanto, .
Passo 4
Isso significa que o integrando do Teorema de Green é zero, e consequentemente, o integral de linha ao longo de uma curva fechada simples no sentido horário para o campo
é zero:
Isso significa que, independentemente da forma específica da curva , o integral resultará em zero quando for percorrido no sentido horário.
Resposta
Isso significa que, independentemente da forma específica da curva , o integral resultará em zero quando for percorrido no sentido horário.