Usando o Teorema de Green, calcule as seguintes integrais de linha:
- onde é o quadrado de vértices orientado positivamente.
- onde consiste do arco da parábola e do segmento de reta de orientada positivamente.
- onde é a fronteira da região limitada pelas parábolas percorrida no sentido anti-horário.
- onde é a curva orientado no sentido anti-horário.
- consiste do segmento de uma reta unindo e da semicircunferência , orientada positivamente.
- é cardióide orientado positivamente.
- consiste do segmento de reta de e do ardo da curva , orientada positivamente.
- onde e consiste do arco da circunferência e dos segmentos de reta de .
Passo 1
Para calcular a integral de linha usando o Teorema de Green, onde é a cardióide orientada positivamente, e precisamos parametrizar a curva em coordenadas polares.
A curva é parametrizada por onde varia de
As coordenadas cartesianas correspondentes são:
Vamos calcular as diferenciais em termos de
Passo 2
Agora, substituindo na integral de linha:
Passo 3
Simplificando os termos:
Agora, integramos em rela�o a
Portanto, a integral de linha ao longo da curva é igual a zero.