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Exercícios Resolvidos de Teorema de Green

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 3, Lista de Exercícios - USP - Lista 2 - 2022.1, Questão 10e

Usando o Teorema de Green, calcule as seguintes integrais de linha:

  1. ∮ γ x 2   y d x + x y 3     d y , onde γ é o quadrado de vértices 0,0 ,   1,0 ,   1,1   e   0,1 , orientado positivamente.
  2. ∮ γ ( x + 2 y ) d x + ( x - 2 y ) d y , onde γ consiste do arco da parábola y = x 2 0,0   a   1,1 , e do segmento de reta de 1,1 a   0,0 ,   orientada positivamente.
  3. ∮ γ ( y + e x ) d x + 2 x + cos ⁡ y 2 d y , onde γ é a fronteira da região limitada pelas parábolas y = x 2 e   x = y 2 percorrida no sentido anti-horário.
  4. ∮ γ x 2 d x + y 2 d y , onde γ é a curva x 6 + y 6 = 1 orientado no sentido anti-horário.
  5. ∮ γ x y d x + 2 x 2 d y , γ consiste do segmento de uma reta unindo - 2,0   a   ( 2,0 ) e da semicircunferência x 2 + y 2 = 4 ,   y ≥ 0 , orientada positivamente.
  6. ∮ γ 2 x y d x + x 2 d y , γ é cardióide ρ = 1 + cos ⁡ θ , orientado positivamente.
  7. ∮ γ ( x y + e x 2 ) d x + x 2 - ln ⁡ 1 + y d y , consiste do segmento de reta de   0,0   a   ( π , 0 ) e do ardo da curva y = s e n   x , orientada positivamente.
  8. ∮ γ F → ⋅ d → , onde F → x , y = y 2 - x 2 y i → + x y 2 j → e γ consiste do arco da circunferência x 2 + y 2 - 4     d e   2,0   a   2 ,   2 ,   e dos segmentos de reta de 2 , 2   a   0,0   e   d e   0,0   a   ( 2,0 ) .

Passo 1

Para calcular a integral de linha ∮ γ F ⋅ d r usando o Teorema de Green, onde ( γ ) é a cardióide ρ = 1 + c o s   θ   orientada positivamente, e ( F   =   2 x y   d x   +   x 2 d y ) , precisamos parametrizar a curva γ em coordenadas polares.

A curva γ é parametrizada por ρ = 1   + c o s θ , onde θ varia de 0   a   2 π .

As coordenadas cartesianas correspondentes são:

x = ρ cos ⁡ θ = 1 + cos ⁡ θ cos ⁡ θ = cos ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ ,

y = ρ sin ⁡ θ = 1 + cos ⁡ θ sin ⁡ θ = sin ⁡ θ + cos ⁡ θ sin ⁡ θ .

Vamos calcular as diferenciais d x     e   d y em termos de d θ

d x = - sin ⁡ θ - 2 cos ⁡ θ sin ⁡ θ d θ ,

d y = cos ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ d θ .

Passo 2

Agora, substituindo d x     e   d y na integral de linha:

∮ γ F ⋅ d r = ∫ 0 2 π ( 2 x y   d x   +   x 2   d y )

=   ∫ 0 2 π   2 c o s   θ + c o s 2 θ - s i n   θ -   2   c o s   θ s i n   θ + c o s   θ + c o s 2 θ 2 c o s   θ + c o s   θ s i n   θ d θ

Passo 3

Simplificando os termos:

∮ γ F ⋅ d r   =   ∫ 0 2 π   - 2 c o s   θ s i n   θ -   2 c o s 2 θ s i n   θ + c o s 3 θ + c o s 2 θ c o s   θ s i n   θ d θ

  ∫ 0 2 π   - s i n   2 θ -   2 c o s 2 θ s i n   θ + c o s 3 θ + c o s 3 θ s i n   θ d θ

∫ 0 2 π   - s i n   2 θ -   2   c o s 2 θ s i n   θ +   2 c o s 3 θ s i n   θ d θ

Agora, integramos em relaç��o a   θ

∫ 0 2 π - s i n   2 θ - 2 c o s 2 θ s i n   θ +   2 c o s 3 θ s i n   θ d θ =   1 2 c o s   2 θ + 2 3 c o s 3 θ - 1 2 c o s 2 θ 0 2 π

= 1 2 c o s   ( 0 ) + 2 3 c o s 3 2 π - 1 2 c o s 2 2 π - 1 2 c o s   0 + 2 3 c o s 3 0 - 1 2 c o s 2 0

=   0 .

Portanto, a integral de linha ∮ γ F ⋅ d r ao longo da curva γ   é igual a zero.

Resposta

0

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