Usando o Teorema de Green, calcule as seguintes integrais de linha:

  1. ∮₍γ₎ (x² y dx + x y³ dy), onde gamma é o quadrado de vértices (0,0), (1,0), (1,1) e (0,1), orientado positivamente.
  2. ∮_γ (x + 2y) dx + (x - 2y) dy, onde gamma consiste do arco da parábola y = x^2 (0,0) a (1,1), e do segmento de reta de (1,1) a (0,0) orientada positivamente.
  3. ∮_γ (y + e^raiz(x)) dx + (2x + cos(y^2)) dy, onde gamma é a fronteira da região limitada pelas parábolas y = x^2 e x = y^2 percorrida no sentido anti-horário.
  4. ∮_γ (x^2 dx + y^2 dy), onde gamma é a curva x^6 + y^6 = 1 orientado no sentido anti-horário.
  5. ∮_γ (xy dx + 2x^2 dy) gamma consiste do segmento de uma reta unindo (-2,0) a(2,0) e da semicircunferência x^2 + y^2 = 4, y >= 0 , orientada positivamente.
  6. ∮_γ (2xy dx + x^2 dy), γ é cardióide ρ = 1 + cos(θ) orientado positivamente.
  7. ∮_γ (xy + e^(x^2)) dx + (x^2 - ln(1 + y)) dy, consiste do segmento de reta de (0,0) a (pi, 0) e do ardo da curva y = sen x , orientada positivamente.
  8. ∮_γ F→ ⋅ d→, onde F(x, y) = y^2 - x^2 * y + x * y^2 + j e gamma consiste do arco da circunferência x^2 + y^2 - 4 de (2,0) a (raiz(2), raiz(2)) e dos segmentos de reta de (raiz(2), raiz(2)) a (0,0) e de (0,0) a (2,0) .

Passo 1

Para calcular a integral de linha ∮ γ F ⋅ d r usando o Teorema de Green, onde ( γ ) é a cardióide ρ = 1 + c o s   θ   orientada positivamente, e ( F   =   2 x y   d x   +   x 2 d y ) , precisamos parametrizar a curva γ em coordenadas polares.

A curva γ é parametrizada por ρ = 1   + c o s θ , onde θ varia de 0   a   2 π .

As coordenadas cartesianas correspondentes são:

x = ρ cos ⁡ θ = 1 + cos ⁡ θ cos ⁡ θ = cos ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ ,

y = ρ sin ⁡ θ = 1 + cos ⁡ θ sin ⁡ θ = sin ⁡ θ + cos ⁡ θ sin ⁡ θ .

Vamos calcular as diferenciais d x     e   d y em termos de d θ

d x = - sin ⁡ θ - 2 cos ⁡ θ sin ⁡ θ d θ ,

d y = cos ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ d θ .

Passo 2

Agora, substituindo d x     e   d y na integral de linha:

∮ γ F ⋅ d r = ∫ 0 2 π ( 2 x y   d x   +   x 2   d y )

=   ∫ 0 2 π   2 c o s   θ + c o s 2 θ - s i n   θ -   2   c o s   θ s i n   θ + c o s   θ + c o s 2 θ 2 c o s   θ + c o s   θ s i n   θ d θ

Passo 3

Simplificando os termos:

∮ γ F ⋅ d r   =   ∫ 0 2 π   - 2 c o s   θ s i n   θ -   2 c o s 2 θ s i n   θ + c o s 3 θ + c o s 2 θ c o s   θ s i n   θ d θ

  ∫ 0 2 π   - s i n   2 θ -   2 c o s 2 θ s i n   θ + c o s 3 θ + c o s 3 θ s i n   θ d θ

∫ 0 2 π   - s i n   2 θ -   2   c o s 2 θ s i n   θ +   2 c o s 3 θ s i n   θ d θ

Agora, integramos em relaç��o a   θ

∫ 0 2 π - s i n   2 θ - 2 c o s 2 θ s i n   θ +   2 c o s 3 θ s i n   θ d θ =   1 2 c o s   2 θ + 2 3 c o s 3 θ - 1 2 c o s 2 θ 0 2 π

= 1 2 c o s   ( 0 ) + 2 3 c o s 3 2 π - 1 2 c o s 2 2 π - 1 2 c o s   0 + 2 3 c o s 3 0 - 1 2 c o s 2 0

=   0 .

Portanto, a integral de linha ∮ γ F ⋅ d r ao longo da curva γ   é igual a zero.

Resposta

0

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