Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Teorema de Green

Ver Teoria
Exercício 110123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 3, Lista de Exercícios - USP - Lista 2 - 2022.1, Questão 15d

Calcule

d) ∫ γ x 2 y d x - x 3 d y x 2 + y 2 2 , onde γ é a fronteira da região R = { x , y ∈ R 2 : x ≤ 1 ,   y ≤ 1 } , orientada no sentido horário.

Passo 1

Olá meu amigo, Yuri aqui e agora iremos resolver essa querida integral. Note que de cara queremos utilizar o teorema de Green para calcular essa integral, mas infelizmente não podemos por conta da indeterminação do ponto ( 0,0 ) . Temos então duas opções, parametrizar essa curva e calcular a integral de linha da forma tradicional ou se cria uma região de contorno para que o teorema de Green seja valido.

Neste caso especifico que nos é apresentado, iremos utilizar uma circunferência γ 1 de sentido oposto ao γ e de raio qualquer, ela irá ‘excluir’ nossa indeterminação e nos permitirá utilizarmos o teorema de Green.

Passo 2

A parametrização de γ 1 é

γ 1 = r cos ⁡ t ,   r sin ⁡ t

t = [ 0,2 π ]

Agora calculando

r o t F = ∂ ∂ x - x 3 x 2 + y 2 2 - ∂ ∂ y x 2 y x 2 + y 2 2

r o t F = - 3 x 2 x 2 + y 2 2 + 2 x 3 x 2 + y 2 2 x x 2 + y 2 4 - x 2 x 2 + y 2 2 - x 2 y 2 x 2 + y 2 2 y x 2 + y 2 4

r o t F = - 4 x 6 - 8 x 4 y 2 - 4 x 2 y 4 + 4 x 6 + 4 x 4 y 2 + 4 x 2 y 4 = 0

Então o que temos

∫ A x 2 y d x - x 3 d y x 2 + y 2 2 = ∫ γ x 2 y d x - x 3 d y x 2 + y 2 2 + ∫ γ 1 x 2 y d x - x 3 d y x 2 + y 2 2 = 0

Sendo A = γ ∪ γ 1

Passo 3

Calculando

∫ γ 1 x 2 y d x - x 3 d y x 2 + y 2 2 = ∫ 0 2 π r cos ⁡ t 2 r sin ⁡ t - r sin ⁡ t d t - r cos ⁡ t 3 r cos ⁡ t d t r 4

= - ∫ 0 2 π r 4 cos 2 ⁡ t sin 2 ⁡ t + r 4 cos 2 ⁡ t cos 2 ⁡ t r 4 d t

= - ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ t d t

= - sin ⁡ t cos ⁡ t 2 0 2 π - ∫ 0 2 π 1 2 d t

= - π

Então

∫ γ x 2 y d x - x 3 d y x 2 + y 2 2 = π

Resposta

∫ γ x 2 y d x - x 3 d y x 2 + y 2 2 = π

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) utilizando o Teorema de Green. ∮ C . x 2 y 2 d x + x y d y C consiste num arco de parábola y = x 2 indo de ( 0,0 ) para ( 1,1 ) e o
Utilize o Teorema de Green para demonstrar a fórmula de mudança de variáveis para as integrais duplas (Fórmula 15.9.9) para o caso onde f x , y = 1 : ∬ R d xd y = ∬ S ∂ x , y ∂ u , v d ud v Aqui, R é
Use o teorema de Green para calcular ∫ C F ⋅ d r . (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.) F x , y = y 2 cos ⁡ x , x 2 + 2 y sen ⁡ x C é o triangulo de 0,0 �� ��a ( 2,6 ) a 2,0 a
Se C é o segmento de reta ligando o ponto ( x 1 , y 1 ) ao ponto ( x 2 , y 2 ) , mostre que ∫ C xd y - yd x = x 1 y 2 - x 2 y 1 Se os vértices de um polígono, na ordem anti-horária, são x 1 , y 1 ,x 2
Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva. ∫ C y + e x d x + 2 x + cos ⁡ y 2 d y C é a fronteira da região englobada pelas parábolas y = x