1. Calcule ∇ atan ⁡ y x   e   ∇ atan ⁡ x y
  2. Mostre que se f 1 , f 2 ,   f 3 : R → R são funções de classe C 1   e   F → = f 1 x ,   f 2 y , f 3 z , então F →   é   c o n s e r v a t i v o .

Passo 1

Para mostrar que um campo vetorial   F → = f 1 x ,   f 2 y , f 3 z é conservativo, é necessário demonstrar que o rotacional (curl) do campo vetorial é zero, ou seja, ∇ × F = 0

O rotacional de um campo vetorial tridimensional   F → = f 1 x ,   f 2 y , f 3 z é dado por:

∇ × F = ∂ f 3 ∂ y - ∂ f 2 ∂ z i + ∂ f 1 ∂ z - ∂ f 3 ∂ x j + ∂ f 2 ∂ x - ∂ f 1 ∂ y k

Se F é conservativo, então o rotacional deve ser zero em cada componente, ou seja:

∂ f 3 ∂ y - ∂ f 2 ∂ z = 0

∂ f 1 ∂ z - ∂ f 3 ∂ x = 0

∂ f 2 ∂ x - ∂ f 1 ∂ y = 0

Passo 2

Dado que as funções f 1 ,   f 2 ,     e     f 3 são de classe C 1 , suas derivadas parciais são contínuas, e as equações acima indicam que as derivadas cruzadas são iguais. Isso implica que o campo vetorial F é conservativo.

Portanto, um campo vetorial cujas componentes são funções f 1 ,   f 2 ,     e     f 3   de classe C 1 é conservativo.

Resposta

Portanto, um campo vetorial cujas componentes são funções f 1 ,   f 2 ,     e     f 3   de classe C 1 é conservativo.

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