USP, Sem Campus, Cálculo 3, Lista de Exercícios - USP - Lista 2 - 2022.1, Questão 14b
- Calcule
- Mostre que se são funções de classe , então
Passo 1
Para mostrar que um campo vetorial é conservativo, é necessário demonstrar que o rotacional (curl) do campo vetorial é zero, ou seja,
O rotacional de um campo vetorial tridimensional é dado por:
Se é conservativo, então o rotacional deve ser zero em cada componente, ou seja:
Passo 2
Dado que as funções são de classe , suas derivadas parciais são contínuas, e as equações acima indicam que as derivadas cruzadas são iguais. Isso implica que o campo vetorial é conservativo.
Portanto, um campo vetorial cujas componentes são funções de classe é conservativo.
Resposta
Portanto, um campo vetorial cujas componentes são funções de classe é conservativo.
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