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Exercícios Resolvidos de Teorema de Green

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 3, Lista de Exercícios - USP - Lista 2 - 2022.1, Questão 16

Verifique que a integral ∫ γ 2 x sin ⁡ y d x + x 2 cos ⁡ y - 3 y 2 d y , onde γ é uma curva ligando ( - 1,0 ) e ( 5,1 ) , é independente do caminho e calcule o seu valor.

Passo 1

Olá amigo, tudo bem? Yuri aqui e irei te ajuda a resolver essa questão. Se a integral é independente do caminho, então a função da integral é um campo conservativo, logo existe um campo potencial φ cujo gradiente recai em F → e 2 x sin ⁡ y d x + x 2 cos ⁡ y - 3 y 2 d y é a forma diferencial exata de φ .

r o t F → = ∂ ∂ x x 2 cos ⁡ y - 3 y 2 - ∂ ∂ y 2 x sin ⁡ y = 2 x cos ⁡ y - 2 x cos ⁡ y = 0

E F → :   γ ⊂ R 2 → R 2   |   γ = R 2 então γ é um conjunto simplesmente conexo, e, portanto, F → é um campo conservativo.

Passo 2

Agora é hora de encontrarmos um campo potencial para F →

∂ Q ∂ x = 2 x sin ⁡ y

Integrando primeiro em relação a x

Q x , y = x 2 sin ⁡ y + k ( y )

Surge então uma constante k ( y )

Derivando o que achamos anteriormente em relação a y

∂ Q ∂ y = x 2 cos ⁡ y + ∂ k y ∂ y

Pela definição,

x 2 cos ⁡ y - 3 y 2 = x 2 cos ⁡ y + ∂ k y ∂ y

Então aqui iremos descobrir que é o nosso k ( y )

∂ k y ∂ y = - 3 y 2

k y = - ∫ 3 y 2 d y

k y = - y 3 + k

Onde K é uma constante de integração. Então nosso campo potencial é

φ x , y = x 2 sin ⁡ y - y 3 + k

Passo 3

Como nosso campo é conservativo, podemos utilizar a propriedade

∫ C F ∙ d r = f B - f ( A )

∫ γ 2 x sin ⁡ y d x + x 2 cos ⁡ y - 3 y 2 d y = ∫ - 1,0 5,1 d φ = 25 sin ⁡ 1 - 1 - - 1 2 sin ⁡ 0 - = 25 sin ⁡ 1 - 1

Resposta

25 sin ⁡ 1 - 1

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