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Exercícios Resolvidos de Área entre Curvas

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 3, Lista de Exercícios - USP - Lista 2 - 2022.1, Questão 12b

Á r e a   d e   u m   p o l í g o n o   i r r e g u l a r

  1. Se γ é o segmento de reta ligando o ponto ( x 1 ,   y 1 ) ao ponto ( x 2 ,   y 2 ) , mostre que

    2. ∫ γ x d y - y d x = x 1 y 2 - x 2 y 1

  2. No sentido anti-horário, os vértices de um polígono são ( x 1 ,   y 1 ) ,   ( x 2 ,   y 2 ) ,   . . . ,   ( x N   ,   y N ) . Mostre que sua área é dada por:

    3. A = 1 2 x 1 y 2 - x 2 y 1 + x 2 y 3 - x 3 y 2 - … + x N - 1 y N - x N y N - 1 + x N y 1 - x 1 y N  

  3. Determine a área do pentágono de vértices 0,0 ,   2,1 ,   1,3 ,   0,2 e   ( - 1,1 ) .

Passo 1

Para determinar a área do pentágono com os vértices dados, podemos usar a fórmula que foi apresentada anteriormente:

A   =   ½   [ ( x ₁   y ₂   -   x ₂   y ₁ )   +   ( x ₂   y ₃   -   x ₃   y ₂ )   +   ( x ₃   y ₄   -   x ₄   y ₃ )   +   ( x ₄   y ₅   -   x ₅   y ₄ )   +   ( x ₅   y ₁   -   x ₁   y ₅ ) ] .

Substituindo os valores dos vértices dados:

V é r t i c e   1 :   ( x ₁ ,   y ₁ )   =   ( 0 ,   0 )

V é r t i c e   2 :   ( x ₂ ,   y ₂ )   =   ( 2 ,   1 )

V é r t i c e   3 :   ( x ₃ ,   y ₃ )   =   ( 1 ,   3 )

V é r t i c e   4 :   ( x ₄ ,   y ₄ )   =   ( 0 ,   2 )

V é r t i c e   5 :   ( x ₅ ,   y ₅ )   =   ( - 1 ,   1 )

Passo 2

Podemos calcular cada termo da fórmula:

x 1 y 2 -   x 2 y 1 =   0   *   1 -   2   *   0 =   0

( x ₂   y ₃   -   x ₃   y ₂ )   =   ( 2   *   3 )   -   ( 1   *   1 )   =   5

( x ₃   y ₄   -   x ₄   y ₃ )   =   ( 1   *   2 )   -   ( 0   *   3 )   =   2

( x ₄   y ₅   -   x ₅   y ₄ )   =   ( 0   *   1 )   -   ( - 1   *   2 )   =   2

( x ₅   y ₁   -   x ₁   y ₅ )   =   ( - 1   *   0 )   -   ( 0   *   1 )   =   0

Passo 3

Agora, substituindo esses valores na fórmula da área:

A   =   ½   [ 0   +   5   +   2   +   2   +   0 ]

    =   ½   *   9

    =   4.5

Portanto, a área do pentágono é 4.5 unidades quadradas.

Resposta

Portanto, a área do pentágono é 4.5 unidades quadradas.

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