USP, Sem Campus, Cálculo 3, Lista de Exercícios - USP - Lista 2 - 2022.1, Questão 13c
Calcule
- a elipse , percorrida de com
- sendo a circunferência percorrida de a com .
- sendo a fronteira do retângulo e , percorrida no sentido anti-horário.
Passo 1
Para calcular a integral de linha ao longo da fronteira γ do retângulo onde , percorrida no sentido anti-horário, podemos usar o teorema de Green.
O teorema de Green estabelece que a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada é igual à integral dupla do rotacional do campo sobre a região delimitada por
Matematicamente:
onde D é a região delimitada por e é o rotacional do campo .
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o rotacional de :
onde é a componente x de e é a componente de
No nosso caso, temos:
Calculando as derivadas parciais:
Passo 3
Portanto, o rotacional de é:
Agora podemos aplicar o teorema de Green:
A região D é o retângulo , então a integral dupla se torna:
Portanto, a integral de linha é igual a 4.
Resposta
Portanto, a integral de linha é igual a 4.