Usando o Teorema de Green, calcule as seguintes integrais de linha:
- onde é o quadrado de vértices orientado positivamente.
- onde consiste do arco da parábola e do segmento de reta de orientada positivamente.
- onde é a fronteira da região limitada pelas parábolas percorrida no sentido anti-horário.
- onde é a curva orientado no sentido anti-horário.
- consiste do segmento de uma reta unindo e da semicircunferência , orientada positivamente.
- onde é cardióide orientado positivamente.
- consiste do segmento de reta de e do ardo da curva , orientada positivamente.
- onde e consiste do arco da circunferência e dos segmentos de reta de .
Passo 1
Vamos recalcular a integral de linha.
Dada a curva que consiste do segmento de uma reta de e da semicircunferência onde orientada positivamente, e a função , queremos calcular a integral de linha
Vamos dividir a curva em duas partes: é o segmento de reta e é a semicircunferência.
Parametrizamos como onde varia de
Passo 2
Calculamos a integral de linha ao longo de
Parametrizamos usando coordenadas polares como onde varia de 0 a
Passo 3
Calculamos a integral de linha ao longo de :
Usando identidades trigonométricas, podemos simplificar a integral:
A integral de linha ao longo de é zero.
Agora, somamos as integrais de linha ao longo de
Portanto, a resposta correta é de fato 0.