Usando o Teorema de Green, calcule as seguintes integrais de linha:

  1. ∮_γ (x^2 * y * dx + x * y^3 * dy) onde gamma é o quadrado de vértices (0,0), (1,0), (1,1), e (0,1) orientado positivamente.
  2. ∮_γ (x + 2y) dx + (x - 2y) dy onde gamma consiste do arco da parábola y = x^2 (0,0) a (1,1), e do segmento de reta de (1,1) a (0,0) , orientada positivamente.
  3. ∮_(γ) (y + e^raiz(x)) dx + (2x + cos(y^2)) dy, onde gamma é a fronteira da região limitada pelas parábolas y = x^2 e x = y^2 percorrida no sentido anti-horário.
  4. ∮_γ (x^2 dx + y^2 dy) onde gamma é a curva x^6 + y^6 = 1 orientado no sentido anti-horário.
  5. ∮_γ (x y dx + 2 x^2 dy) gamma consiste do segmento de uma reta unindo (-2,0) a(2,0) e da semicircunferência x^2 + y^2 = 4, y >= 0 , orientada positivamente.
  6. ∮₍γ₎ (2xy dx + x² dy) onde gamma é cardióide ρ = 1 + cos(θ) orientado positivamente.
  7. ∮_γ (xy + e^(x^2)) dx + (x^2 - ln(1 + y)) dy consiste do segmento de reta de (0,0) a (pi, 0) e do ardo da curva y = sen x , orientada positivamente.
  8. ∮_γ F→ ⋅ d→, onde F(x, y) = y^2 - x^2 * y + x * y^2 + j e gamma consiste do arco da circunferência x^2 + y^2 - 4 de (2,0) a (raiz(2), raiz(2)) e dos segmentos de reta de (raiz(2), raiz(2)) a (0,0) e deve (0,0) a (2,0) .

Passo 1

Vamos recalcular a integral de linha.

Dada a curva γ que consiste do segmento de uma reta de - 2,0   a   2,0 e da semicircunferência ( x 2 +   y 2 =   4 ) onde y ≥   0 , orientada positivamente, e a função ( F   =   x y   d x   +   2 x 2 d y ) , queremos calcular a integral de linha ( ∮ γ F ⋅   d r ) .

Vamos dividir a curva γ em duas partes: γ 1 é o segmento de reta e γ 2 é a semicircunferência.

P a r a   γ 1 :

Parametrizamos γ 1 como r 1 t = x t , y t = ( t , 0 ) onde t varia de - 2   a   2 .

Passo 2

Calculamos a integral de linha ao longo de γ 1 :

∫ γ 1 F ⋅ d r   =   ��� - 2 2 x y i + 2 x 2 j ⋅ d x ,   d y =   ∫ - 2 2 ( t x   ⋅ 1   +   2 t 2 ⋅ 0 )   d t =   ∫ - 2 2 t x d t   =   0

P a r a   γ 2 :

Parametrizamos γ 1 usando coordenadas polares como r 2 θ = x θ , y θ = 2 cos ⁡ θ , 2 sin ⁡ θ   onde   θ varia de 0 a π

Passo 3

Calculamos a integral de linha ao longo de γ 2 :

∫ γ 2 F ⋅ d r   =   ∫ 0 π ( x y i + 2 x 2 j ) ⋅ - 2 s i n   θ d θ ,   2 c o s θ d θ =   ∫ 0 π - 4 s i n   θ c o s   θ +   8 c o s 2 θ d θ

Usando identidades trigonométricas, podemos simplificar a integral:

∫ 0 π - 4   s i n θ c o s   θ +   8 c o s 2 θ d θ =   0

A integral de linha ao longo de γ é zero.

Agora, somamos as integrais de linha ao longo de γ 1   e   γ 2

��� γ F ⋅ d r   =   ∫ γ 1 F ⋅ d r   +   ∫ γ 2 F ⋅ d r   =   0   +   0   =   0

Portanto, a resposta correta é de fato 0.

Resposta

0

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