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Exercícios Resolvidos de Teorema de Green

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 3, Lista de Exercícios - USP - Lista 2 - 2022.1, Questão 10d

Usando o Teorema de Green, calcule as seguintes integrais de linha:

  1. ∮ γ x 2   y d x + x y 3     d y , onde γ é o quadrado de vértices 0,0 ,   1,0 ,   1,1   e   0,1 , orientado positivamente.
  2. ∮ γ ( x + 2 y ) d x + ( x - 2 y ) d y , onde γ consiste do arco da parábola y = x 2 0,0   a   1,1 , e do segmento de reta de 1,1 a   0,0 ,   orientada positivamente.
  3. ∮ γ ( y + e x ) d x + 2 x + cos ⁡ y 2 d y , onde γ é a fronteira da região limitada pelas parábolas y = x 2 e   x = y 2 percorrida no sentido anti-horário.
  4. ∮ γ x 2 d x + y 2 d y , onde γ é a curva x 6 + y 6 = 1 orientado no sentido anti-horário.
  5. ∮ γ x y d x + 2 x 2 d y , γ consiste do segmento de uma reta unindo - 2,0   a   ( 2,0 ) e da semicircunferência x 2 + y 2 = 4 ,   y ≥ 0 , orientada positivamente.
  6. ∮ γ 2 x y d x + x 2 d y , onde γ é cardióide ρ = 1 + cos ⁡ θ , orientado positivamente.
  7. ∮ γ ( x y + e x 2 ) d x + x 2 - ln ⁡ 1 + y d y , consiste do segmento de reta de   0,0   a   ( π , 0 ) e do ardo da curva y = s e n   x , orientada positivamente.
  8. ∮ γ F → ⋅ d → , onde F → x , y = y 2 - x 2 y i → + x y 2 j → e γ consiste do arco da circunferência x 2 + y 2 - 4     d e   2,0   a   2 ,   2 ,   e dos segmentos de reta de 2 , 2   a   0,0   e   d e   0,0   a   ( 2,0 ) .

Passo 1

Para calcular a integral de linha usando o Teorema de Green, primeiro precisamos encontrar um campo vetorial cujo rotacional seja igual à função que estamos integrando.

No nosso caso, a função é ( x 2 d x   +   y 2 d y ) , e queremos calcular a integral de linha ao longo da curva ( γ :   x 6 +   y 6 =   1 ) ,   orientada no sentido anti-horário.

O Teorema de Green estabelece que a integral de linha de um campo vetorial F ao longo de uma curva fechada γ é igual à integral dupla do rotacional de F sobre a região delimitada por γ

∮ γ F ⋅ d r   =   ∬ D ∇ × F   �� d A

Vamos começar calculando o rotacional do campo F   =   x 2 i +   y 2 j

Passo 2

∇ × F   = ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z × x 2 , y 2 , 0 = 0,0 , ∂ ∂ x x 2 - ∂ ∂ y y 2 = k 2 x - 2 y  

Portanto:

∮ γ ( x 2 i + y 2 j   ) ⋅ d r   =   ∬ D 2 x   -   2 y d A

∬ D 2 x   -   2 y , d A   =   2   ∬ D x   -   y d A

Passo 3

Agora, para resolver essa integral de linha, precisamos encontrar a região D   delimitada por γ que é o conjunto de pontos que satisfazem ( x 6 +   y 6 ≤   1 ) .

Note que essa região é um disco unitário, já que ( x 6 +   y 6 =   1 )   é a equação de uma curva suave que envolve o disco.

Portanto, a integral de linha é igual à integral dupla sobre o disco.

Agora, para calcular essa integral dupla, podemos usar coordenadas polares.

A integral dupla de uma função f ( x , y ) sobre um disco de raio r é dada por:

∬ D f x ,   y , d A   =   ∫ 0 2 π ∫ 0 r f r c o s θ ,   r s i n θ ⋅ r     d r d θ

Neste caso, ( f x ,   y =   x   –   y ) e o disco tem raio ( r   =   1 ) .

Portanto, substituindo os valores:

2   ∬ D x   -   y d A   =   2   ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r c o s   θ -   r s i n   θ ⋅ r   d r d θ

Passo 4

Resolvendo as integrais:

2   ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 2 c o s   θ -   r 2 s i n   θ d r d θ =   2   ∫ 0 2 π r 3 3 cos ⁡ θ - r 3 3 sin ⁡ θ 0 1 d θ

2   ∫ 0 2 π 1 3 cos ⁡ θ - 1 3 sin ⁡ θ d θ =   2   1 3 sin ⁡ θ + 1 3 cos ⁡ θ 0 2 π =   2 1 3 - 1 3 =   0

Portanto, a integral de linha de ( x 2 d x   +   y 2 d y ) ao longo da curva γ é igual a zero.

Isso significa que o campo vetorial F = x 2 i + y 2 j   é um campo conservativo nessa região, pois a integral de linha não depende do caminho escolhido, apenas dos pontos inicial e final.

Resposta

0

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