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Exercícios Resolvidos de Caso Escalar

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 3, Lista de Exercícios - USP - Lista 2 - 2022.1, Questão 15b

Calcule

  1. ∫ γ - y d x + x d y x 2 + y 2 ,   o n d e   γ   é a fronteira da região limitada pelas curvas y 2 = 2 ( x + 2 ) e x = a , com a > 0 ,   orientada no sentido horário.
  2. ∫ γ x d x + y d y x 2 + y 2 , onde γ é a curva y = x 2 + 1 ,   - 1 ≤ x ≤ 2 , percorrida do ponto - 1,2   a   2,5 .
  3. ∫ γ y d x - x - 1 d y x - 1 2 + y 2 , onde γ é a circunferência x 2 + y 2 = 4 , orientada no sentido horário .
  4. ∫ γ x 2 y d x - x 3 d y x 2 + y 2 2 , onde γ é a fronteira da R = x , y ∈   R 2 : x ≤ 1 ,   y ≤ 1 , no sentido horário.

Passo 1

Claro, vou detalhar cada etapa do cálculo da integral de linha para chegar à resposta correta.

Dada a curva γ parametrizada como x ( t )   =   t   e   y ( t )   =   t 2 +   1 , onde t varia de - 1   a   2 , a integral de linha que queremos calcular é:

∫ γ x d x   +   y d y x 2 +   y 2  

Primeiro, encontramos d x   e   d y em termos de d t :

d x   =   d t

d y   =   2 t   d t

Substituindo esses valores na integral, obtemos:

∫ γ t   d t   +   t 2 +   1 2 t   d t t 2 +   t 2 +   1 2  

=   ∫ γ t   d t   +   2 t 3 d t   +   2 t 3 t 2 +   t 4 +   2 t 2 +   1   d t

=   ∫ γ 3 t 3 +   t t 4 +   3 t 2 +   1   d t

Passo 2

Agora, vamos substituir os limites de integração, t   =   - 1   e   t   =   2 :

∫ γ 3 t 3 +   t t 4 +   3 t 2 +   1 d t = ∫ - 1 2 3 t 3 +   t t 4 +   3 t 2 +   1 d t  

A seguir, vamos realizar a substituição trigonométrica   t 2 =   u

Derivando ambos os lados em relação a t, obtemos 2 t d t   =   d u .

Resolvendo para d t , temos

d t   = d u 2 t

Substituindo essa relação na integral, obtemos:

∫ 3 u   d u   + 1 2   d u u 2 +   3 u   +   1

Passo 3

Agora, podemos dividir essa integral em duas partes:

∫ 3 u   d u u 2 +   3 u   +   1   +   ∫ 1 2 d u u 2 +   3 u   +   1

A primeira parte é uma integral que pode ser resolvida através de uma substituição simples.

Fazendo u   =   t 2 , temos d u   =   2 t   d t , o que nos leva a:

∫ 3 u   u 2 +   3 u   +   1   d u =   3 ∫ d u u   +   1

Integrando em relação a u, obtemos:

3   l n | u   +   1 |   +   C 1

Passo 4

A segunda parte é uma integral de uma função racional que pode ser resolvida usando a técnica de frações parciais:

∫ 1 2 u 2 +   3 u   +   1 d u =   ∫ 1 2 u   + 3 2 2 - 5 4 d u

=   1 5 atan ⁡ 2 u   +   3 5     +   C 2

Agora, substituímos de volta u   =   t 2 :

3   l n | t 2   +   1 |   +   1 5   a r c t a n 2 t 2   +   3 5   +   C

Finalmente, substituindo os limites de integração t   =   - 1   e   t   =   2 e simplificando, obtemos:

1 2 l n 29 5

Esta é a resposta correta da integral de linha ∫ γ x d x   +   y d y x 2 +   y 2  

Resposta

1 2 l n 29 5

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