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Exercícios Resolvidos de Teorema de Green

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 3, Lista de Exercícios - USP - Lista 2 - 2022.1, Questão 18b

Seja γ uma curva plana simples, fechada e lisa por partes, percorrida uma vez no sentido horário. Dê todos os valores possíveis para

∫ γ - y d x + x d y 4 x 2 + 9 y 2

Passo 1

Olá amigo, tudo bem? Yuri aqui e agora iremos calcular essa querida integral de linha. Antes de tudo iremos calcular o r o t   ( F ) e depois iremos conversar sobre a aplicação do teorema de Green nessa situação.

r o t   F = - 4 x 2 + 9 y 2 4 x 2 + 9 y 2 2 - - 4 x 2 + 9 y 2 4 x 2 + 9 y 2 2 = 0

Passo 2

Então, se γ é uma curva fechada e plana tal que a região K, interna a γ , é tal que k   ⊂ δ , sendo que F   : δ   ⊂ R 2 → R 2 ,  

δ = R 2 - { 0,0 } , então pelo teorema de Green,

∫ γ - y d x + x d y 4 x 2 + 9 y 2 = 0 ,   ∀   γ   |   k   ⊂ δ

Se γ é uma curva fechada e plana, tal que k ⊄ σ , pois 0,0 ∈ K   e   0,0 ∉ δ . como temos uma indeterminação justamente em ( 0,0 ) , devemos isolar essa indeterminação antes de usar o teorema de Green, com uma curva suficientemente pequena tal que:

γ 1 = γ ∪ β

Basicamente o que iremos fazer é criar uma curva de sentido na indeterminação, para que possamos utilizar o teorema de Green,

∫ γ 1 - y d x + x d y 4 x 2 + 9 y 2 = ∫ γ - y d x + x d y 4 x 2 + 9 y 2 + ∫ β - y d x + x d y 4 x 2 + 9 y 2 = 0

Para a nossa circunferência, iremos utilizar a parametrização

β t = r cos ⁡ t 2 , sin ⁡ t 3

r → 0 +

0 ≤ t ≤ 2 π

Passo 3

Calculando

∫ γ - y d x + x d y 4 x 2 + 9 y 2 = - ∫ β - y d x + x d y 4 x 2 + 9 y 2

Utilizando a parametrização

∫ γ - y d x + x d y 4 x 2 + 9 y 2 - ∫ 0 2 π - - r sin ⁡ t 3 - r sin ⁡ t ∙ d t 2 + r ∙ cos ⁡ t 2 r ∙ cos ⁡ t 3 d t r 2

Utilizando da identidade trigonométrica sin 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t = 1 ,

= - ∫ 0 2 π 1 6 ∙ r 2 r 2 d t = - π 3

Resposta

0 e - π 3

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