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Exercícios Resolvidos de Teorema de Green

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 3, Lista de Exercícios - USP - Lista 2 - 2022.1, Questão 11c

Determine a área da região limitada pela hipocicloide dada por r t = cos 3 ⁡ t i → + sin 3 ⁡ t j → , 0 ≤ t ≤ 2 π .

Passo 1

O resultado da letra a) nos diz que

Á r e a D =   ∮ x d y = ∮ - y d x

Então vamos utilizar esse resultado e calcular a área da região D que nos foi dada.

Passo 2

Montando nossa integral,

∫ 0 2 π cos 3 ⁡ t 3 sin 2 ⁡ t cos ⁡ t d t

Usando de substituição trigonométrica

3 ∫ 0 2 π 1 - cos 2 ⁡ t cos 4 ⁡ t d t

3 ∫ 0 2 π cos 4 ⁡ t d t - ∫ 0 2 π cos 6 ⁡ t d t

Passo 3

Para o cosseno temos a seguinte formula de recorrência para integração

∫ cos n ⁡ x d x = 1 n cos n - 1 ⁡ x sin ⁡ x + n - 1 n ∫ cos n - 2 ⁡ x d x

Para o nosso caso

Para o nosso caso

3 1 4 cos 3 ⁡ t sin ⁡ t + 4 - 1 4 ∫ cos 2 ⁡ t d t 0 2 π

3 1 4 cos 3 ⁡ t sin ⁡ t + 4 - 1 4 1 2 t + 1 2 sin ⁡ 2 t 0 2 π

3 1 4 cos 3 ⁡ 2 π sin ⁡ 2 π + 4 - 1 4 1 2 2 π + 1 2 sin ⁡ 4 π - 3 1 4 cos 3 ⁡ 0 sin ⁡ 0 + 4 - 1 4 1 2 0 + 1 2 sin ⁡ 0

9 π 4

Agora iremos calcular para a segunda integral

3 ∫ 0 2 π cos 6 ⁡ t d t

3 1 6 cos 5 ⁡ t sin ⁡ t + 6 - 1 6 ∫ cos 4 ⁡ t d t 0 2 π

temos então uma parte que a gente já conhece o resultado ali,

3 1 6 cos 5 ⁡ 2 π sin ⁡ 2 π - 1 6 cos 5 ⁡ 0 sin ⁡ 0 + 5 6 ∙ 9 π 4

15 8 π

E como resultado final

9 π 4 - 15 8 π

3 π 8

Resposta

3 π 8

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