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Exercícios Resolvidos de Área entre Curvas

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 3, Lista de Exercícios - USP - Lista 2 - 2022.1, Questão 12a

Á r e a   d e   u m   p o l í g o n o   i r r e g u l a r

  1. Se γ é o segmento de reta ligando o ponto ( x 1 ,   y 1 ) ao ponto ( x 2 ,   y 2 ) , mostre que

    2. ∫ γ x d y - y d x = x 1 y 2 - x 2 y 1

  2. No sentido anti-horário, os vértices de um polígono são ( x 1 ,   y 1 ) ,   ( x 2 ,   y 2 ) ,   . . . ,   ( x N   ,   y N ) . Mostre que sua área é dada por:

A = 1 2 x 1 y 2 - x 2 y 1 + x 2 y 3 - x 3 y 2 - … + x N - 1 y N - x N y N - 1 + x N y 1 - x 1 y N  

Passo 1

Vamos considerar o segmento de reta γ que liga os pontos A ( x ₁ ,   y ₁ )   e   B ( x ₂ ,   y ₂ ) .

Queremos mostrar que a integral da expressão ∫ γ ( x d y   -   y d x ) é igual a x ₁ y ₂   -   x ₂ y ₁ .

Primeiro, podemos parametrizar a curva γ como uma função de t, onde t varia de 0 a 1. A parametrização pode ser dada como:

γ ( t )   =   ( x ( t ) ,   y ( t ) )   =   ( x ₁   +   ( x ₂   -   x ₁ ) t ,   y ₁   +   ( y ₂   -   y ₁ ) t ) .

Aqui, x(t) é a função que descreve a variação da coordenada x à medida que t varia de 0 a 1, e y(t) é a função que descreve a variação da coordenada y da mesma forma.

Passo 2

Agora, vamos calcular as diferenciais dx e dy em termos de dt:

d x   =   x ' ( t )   d t   =   ( x ₂   -   x ₁ )   d t ,

d y   =   y ' ( t )   d t   =   ( y ₂   -   y ₁ )   d t .

Substituindo essas expressões na integral ∫ _ γ   ( x d y   -   y d x ), obtemos:

∫ γ ( x d y - y d x ) = ∫ 0 1 ( x ₁   +   ( x ₂   -   x ₁ ) t ) ( ( y ₂   -   y ₁ )   d t )   -   ( y ₁   +   ( y ₂   -   y ₁ ) t ) ( ( x ₂   -   x ₁ )   d t )

Vamos calcular essa integral passo a passo:

∫ γ ( x d y   -   y d x )   =   ∫ 0 1 ( x ₁   +   ( x ₂   -   x ₁ ) t ) ( ( y ₂   -   y ₁ )   d t )   -   ( y ₁   +   ( y ₂   -   y ₁ ) t ) ( ( x ₂   -   x ₁ )   d t )

∫ 0 1 ( x ₁   +   ( x ₂   -   x ₁ ) t ) ( ( y ₂   -   y ₁ )   d t )   -   ( y ₁   +   ( y ₂   -   y ₁ ) t ) ( ( x ₂   -   x ₁ )   d t )

=   x 1 y 2 -   y 1 -   y 1 x 2 -   x 1 t 2 2 + x 2 -   x 1 y 2 -   y 1 t   - x 2 -   x 1 y 2 -   y 1 t 3 3   d e   0   a   1

    = x 1 y 2 -   y 1 -   y 1 x 2 -   x 1 2 +   x 2 -   x 1 y 2 -   y 1 - x 2 -   x 1 y 2 -   y 1 3

=   x 1 y 2 - x 1 y 1 - y 1 x 2 + y 1 x 1 + x 2 y 2 - x 2 y 1 -   x 2 y 2 +   x 1 y 1 +   y 2 x 2 -   y 2 x 1 -   y 1 x 2 +   y 1 x 1

  =   x ₁ y ₂   -   x ₂ y ₁ .

Portanto, mostramos que ∫ γ ( x d y   -   y d x )   =   x ₁ y ₂   -   x ₂ y ₁ , que é o resultado desejado.

Isso é um exemplo de uma aplicação da integral de linha em cálculo para calcular o trabalho de um campo vetorial ao longo de uma curva.

Resposta

∫ γ ( x d y   -   y d x )   =   x ₁ y ₂   -   x ₂ y ₁

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