- Se é o segmento de reta ligando o ponto ao ponto , mostre que
- No sentido anti-horário, os vértices de um polígono são Mostre que sua área é dada por:
Passo 1
Vamos considerar o segmento de reta que liga os pontos .
Queremos mostrar que a integral da expressão é igual a
Primeiro, podemos parametrizar a curva γ como uma função de t, onde t varia de 0 a 1. A parametrização pode ser dada como:
Aqui, x(t) é a função que descreve a variação da coordenada x à medida que t varia de 0 a 1, e y(t) é a função que descreve a variação da coordenada y da mesma forma.
Passo 2
Agora, vamos calcular as diferenciais dx e dy em termos de dt:
Substituindo essas expressões na integral ), obtemos:
Vamos calcular essa integral passo a passo:
Portanto, mostramos que , que é o resultado desejado.
Isso é um exemplo de uma aplicação da integral de linha em cálculo para calcular o trabalho de um campo vetorial ao longo de uma curva.