USP, Sem Campus, Cálculo 3, Lista de Exercícios - USP - Lista 2 - 2022.1, Questão 12b
- Se é o segmento de reta ligando o ponto ao ponto , mostre que
- No sentido anti-horário, os vértices de um polígono são Mostre que sua área é dada por:
Passo 1
Para demonstrar essa fórmula, podemos usar a propriedade de que a área de um polígono pode ser calculada usando a integral de linha.
Primeiro, considere o polígono definido pelos vértices no sentido anti-horário.
A área A do polígono pode ser calculada como a integral de linha da expressão ao longo de sua fronteira.
A integral de linha representa a área "varrida" pelo vetor (x, y) enquanto percorre o contorno do polígono. Vamos dividir essa integral de linha em segmentos correspondentes aos lados do polígono:
onde são as curvas que representam os lados do polígono.
Passo 2
Agora, vamos calcular cada uma dessas integrais de linha:
Para calcular as integrais de linha acima, parametrizamos cada segmento de maneira apropriada. Vamos considerar o segmento de reta que liga os pontos
A parametrização dessa reta pode ser dada como:
Calculamos as diferenciais dx e dy em termos de dt:
Substituindo essas expressões na integral de linha, obtemos:
Passo 3
Agora, somando todas as integrais de linha correspondentes aos lados do polígono, obtemos:
Isso pode ser reescrito como:
E finalmente, notamos que o último termo é o mesmo que o primeiro termo mas com sinais opostos devido à orientação anti-horária do polígono. Portanto, temos:
Isso completa a demonstração da fórmula dada para a área do polígono.