Um canhão, posicionado sobre um terreno completamente plano, dispara um projétil com um velocidade inicial de módulo fazendo um ângulo de com a horizontal. Considerando a posição incial do canhão como origem do sistema de coordenadas e a aceleração da gravidade determine:

O tempo total de voo do projétil.

O vetor posição do projétil quando o mesmo atinge sua altura máxima.

O vetor velocidade quando o mesmo atinge o solo.

Considere agora que o projétil deva atingir um alvo que está a uma distância de do canhão. Qual deve ser o ângulo de tiro para que o projétil com velocidade inicial de módulo possa atingir o alvo?

Para determinar o tempo de voo, vamos analisar o movimento em , pois sabemos que ao atingir o solo, o projétil terá a posição . Por se tratar de um movimento uniformemente variado, temos:

A velocidade inicial será a componente da velocidade, ou seja, . A aceleração da gravidade, por apontar para baixo, será negativa. Tendo em vista que meu eixo está colocado de modo que para cima seja positivo. Temos então a seguinte equação de movimento:

Queremos saber o tempo em que , teremos então:

Para determinar o vetor posição do projétil, quando este está em sua altura máxima, devemos encontrar as coordenadas desse ponto.

Vamos começar analisando o movimento em , pois sabemos que ao atingir a altura máxima, a velocidade em é zero, podemos assim encontrar o tempo, não é mesmo?

Quando , temos:

OBS: Perceba que o tempo para atingir a altura máxima, nesse caso é metade do tempo de voo do projétil. Se pensarmos um pouco na equação do movimento em , vemos que se trata de uma parábola, ou seja, ela é simétrica em relação ao ponto de máximo. Mas nem sempre isso é válido, se por exemplo, o canhão não estiver em um terreno plano, estaremos lidando com pontos não simétricos da parábola.

Agora que temos o tempo, podemos determinar a posição. Primeiro em , pois já conhecemos a equação de movimento nesse eixo:

Para , temos:

Em , por se tratar de um movimento uniforme, temos a seguinte equação de movimento:

A velocidade inicial será a componente da velocidade inicial, ou seja, , teremos então:

Para , teremos:

Portanto, o vetor posição do projétil quando este atinge a altura máxima, é:

Para determinar o vetor velocidade quando o projétil atinge o solo, devemos achar sua velocidade em cada eixo para , que é o tempo em que ele atinge o solo. Vamos começar por :

Para , temos:

Em , por ser um movimento uniforme, sua velocidade será sempre . Ou seja, teremos:

O vetor velocidade será então:

Para determinar o ângulo para que a situação descrita ocorra, precisamos montar as equações de movimento para o novo ângulo, teremos então:

Em :

Em :

Agora que temos as equações, vamos pensar nas condições que o problema impõe. Temos que o projétil deve percorrer em durante o tempo de voo.

Então, vamos primeiro achar o tempo de voo em função de , ou seja o tempo quando :

Agora, precisamos que em , o projétil percorra em , então, vamos lá!

Podemos substituir por , teremos então:

Então, teremos que pode assumir os seguintes valores: