UFCG, Sem Campus, Física 2, Provas Profº Douglas Fregolente - 2021.1, Questão 3
A maior parte deste problema se refere a seção do livro do Taylor
a) Encontre a velocidade e a posição de uma esfera de massa submetida a gravidade e a uma força de arrasto proporcional ao quadrado da velocidade:
Particularmente, para objetos esféricos, pode ser reescrito como:
sendo o diâmetro e depende do meio. O valor de para objetos esféricos no ar
Calcule a velocidade terminal de uma esfera em queda livre de densidade e raio .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado pediu pra gente encontrar a velocidade e a posição de uma esfera submetida a gravidade e a uma força de arrasto proporcional ao quadrado da velocidade, conforme a equação .
Para encontrar a velocidade, nós vamos passa toda depedência em para o lado esquerdo e toda depedência no tempo para o lado direito. Em seguida, vamos integrar a equação para obter e integrar novamente para obter a posição .
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar arrumando nossa equação:
Simplificando e isolando os termos de , temos:
Integrando a equação dos dois lados:
O sobrescrito é apenas para diferenciar dos intervalos de integração nesse caso. Essa integral pode ser calculada com o auxílio de uma tabela ou do seu computador, e nos fornece o resultado:
De onde tiramos que:
A partir dessa velocidade, integramos e obtemos a posição:
O que nos dá:
Passo 3
Para calcular a velocidade terminal de uma esfera em queda livre de densidade e raio , podemos usar a expressão:
Mas a massa pode ser calculada através da densidade e do volume por meio de . Nós sabemos também que o volume da esfera é dado por , sua área é e seu diâmetro . Simplificando tudo na equação, temos:
Substituindo e , encontramos:
Prontinho, galera. Até a próxima! 😉