Um projétil é lançado do nível do chão com uma rapidez inicial de . Encontre o ângulo de lançamento ( o ângulo que a velocidade inicial forma acima da horizontal) de forma que a altura máxima do projétil seja igual ao seu alcance horizontal. (Ignore a resistência do ar.)

Vamos decompor as velocidades, usando as seguintes relações:

E aqui separamos os movimentos, o movimento horizontal é um movimento uniforme e portanto o alcance é dado por:

Aonde é o tempo total do movimento, isso é, até o projétil chegar ao solo.

Já o movimento vertical é um pouquinho diferente, temos a gravidade desacelerando, portanto temos um movimento uniformemente variado. Pra encontrar a altura máxima, podemos aplicar a equação de torricelli.

Só que aqui a velocidade no ponto da altura máxima é e portanto:

Isolando e lembrando que

Agora é só igualar as equações para esses carinhas aqui:

Cortando os termos semelhantes temos o seguinte:

Putz, mas e esse aí, o que eu faço com ele?

Ele é o tempo total do lançamento, e é o único termo que a gente não tem.

Muita calma nessa hora, vamos dar um jeitinho nisso.

Para encontrarmos o tempo vamos analisar o movimento vertical, se a gente pensar na subida poderemos ver pela equação da velocidade quem é esse cara:

Onde

Já que o movimento completo leva em consideração subida e descida. Aqui sabemos também que na altura máxima a velocidade final na vertical é e então a equação fica:

Rearrumando temos então o querido tempo!

Agora é só voltar na nossa equação antiga e substituir essa galera aí:

Daí pegue a tesoura pois cortaremos muita gente por aqui hehe!

Cortando e de ambos os lados e também o que passará a ser , temos:

E se liga aí, essa relação que temos é a tangente!

Agora é só inverter e já era: