Exercícios Resolvidos de Mostrar que o Limite Não Existe em Funções de Várias Variáveis
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UFPB, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral II, Listas de Cálculo 2 - Profº Pedro Hinojosa - Lista de Exercícios 5, Questão 1a
Em cada um dos casos abaixo, verifique a existência de :
a)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente verificar se o limite da função , definida por partes, existe. Como nossa indeterminação acontece justamente no ponto , que é para o qual o limite deve ser calculado, vamos verificar a primeira parte da função, ou seja:
Pra resolver esse limite, vamos converter para coordenadas polares usando:
Assim, tendo tudo na mesma variável, vamos usar o Teorema do confronto para calcular o limite na forma:
Vamos lá!
Passo 2
Como o limite depende apenas de , vamos começar dando uma arrumada no limite, colocando o termo constante para fora, no caso o :
Agora vamos pensar no seguinte, a função seno é uma função limita entre e para qualquer argumento que ela tenha. Então, temos:
Se a gente escrever essa função em módulo, vamos ter:
Multiplicando todos os termos pelo módulo de :
Assim, aplicando o limite de quando tende a zero, vamos ter:
A gente sabe que o limite da constante é a própria constante, então . E como a função modular de é contínua, também temos .
Sendo assim, pelo Teorema do confronto, vamos obter:
E pra que isso seja verdade:
Multiplicando pelo cosseno de :
Portanto, o limite existe e
Valeu, galera! Até a próxima! 😉