Exercícios Resolvidos de Mostrar que o Limite Não Existe em Funções de Várias Variáveis
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UFABC. Cálculo. Funções de Várias Variáveis. Lista 2. Questão 6.
6- Existe ? Justifique sua resposta!
Passo 1
Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍
Essa questão é muuuito comum em provas e listas de cálculo e não é pra menos, vamos usar esses conceitos para a vida toda.
Por isso é muito importante estudar bem este conteúdo até ficar craque! E se depender de nós, sua nota 10 vai vim com força!
Para essa questão, temos um limite para calcular e temos que justificar se o limite existe ou se o limite não existe.
O limite de uma função existe quando tende a um ponto por todas as direções, ou seja, quanto mais nos aproximamos do ponto mais a função se aproxima de um valor específico.
O limite de uma função não vai existir quando houver uma divergência, ou seja, quando nos aproximamos de por uma direção, o resultado é diferente de uma outra aproximação por uma direção diferente.
No caso, nossa função é
E o ponto que vamos aproximar é .
Bora calcular esse limite então.
Passo 2
Para determinar as direções que vamos nos aproximar do ponto, vão ser retas que devem passar pelo ponto que queremos.
Quanto mais retas usarmos na aproximação, mais consistência podemos ter em casos de existência do limite.
Aproximando pela reta , vamos substituir por no nosso limite
Cortando do denominador com o numerador, temos
Aproximando pela curva e fazendo o mesmo procedimento, temos
Se substituirmos por agora, ainda teremos uma indeterminação, então como temos apenas uma variável, podemos aplicar o método de L’Hopital.
Este método consiste em derivar o numerador e o denominador até nos livrarmos da indeterminação, veja só.
Pela regra da cadeia
Por derivação de polinômios
Agora sim, substituindo por , temos
Mas peraí, ainda é o mesmo valor que encontramos anteriormente, então vamos ver se com mais curvas, o valor persiste.
Passo 3
Para a reta , substituindo por no limite, temos
Aplicando o método de L’Hopital novamente
Derivando os polinômios, temos
Voltando para o limite
Ainda não podemos substituir por pois ainda temos uma indeterminação, então vamos aplicar L’Hopital novamente
Derivando os polinômios
Voltando para o limite
Vamos aplicar o método de L’Hopital mais uma vez, pois nossa indeterminação ainda não foi embora.
Derivando os polinômios
Voltando ao limite
Finalmente podemos substitui por , pois nossa indeterminação sumiu
Passo 4
Bingo!! Encontramos dois valores distintos para duas aproximações diferentes que fizemos
Por , encontramos
Já para , encontramos
e são duas retas que passam por , então essa divergência de valores prova que o limite de não existe.
Em outras palavras, quando nos aproximamos do ponto pela direção da reta , tende a . Já quando nos aproximamos de pela direção da reta , vemos que tende a .
E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí
Resposta
O limite não existe pois os limites laterais divergem.