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Exercícios Resolvidos de Mostrar que o Limite Não Existe em Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

PUCRIO - (Cálculo 2 - MAT1162) - G1 (Versão C) 2020.1

Para cada um dos itens a seguir, mostre se o limite existe ou não. Determine o limite caso exista e justifique suas respostas.

  1. lim x , y → 0,0 ⁡ ln ⁡ x 2 + y 2 1 + x 2 + y 2
  2. lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 + sen ⁡ y 2 2 x 2 + y 2
  3. lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 x 2 + y 2 ∙ ln ⁡ x 2 + y 2

Passo 1

Fala galera, tudo certinho? Olha, vamos estabelecer uma estratégia bacana aqui. Imagine que:

y = k x

Onde k ≠ 0 é uma constante qualquer. Show! Veja agora que se:

x → 0

Então:

y → 0

Ok, ok, mas pra que isso? Veja bem, se fizermos um limite de uma função de duas variáveis:

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , y

Quando escolhermos o caminho do limite y = k x , ele vai acabar se transformando em

lim x , kx → 0,0 ⁡ f x , k x

lim x → 0 ⁡ f x

O que é mais tranquilo de resolver! Então agora é colocar a mão na massa, levando em consideração que se o limite não depender de k , então ele não depende do caminho, e logo ele existe. Se conseguirmos calcular o limite mas ele depender de k , aí deu ruim!

Passo 2

Letra a

Nosso primeiro limite é:

lim x , y → 0,0 ⁡ ln ⁡ x 2 + y 2 1 + x 2 + y 2

Aqui, ao substituirmos y = k x , vamos ficar com o seguinte:

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ x 2 + k 2 x 2 1 + x 2 + k 2 x 2 = lim x → 0 ⁡ ln ⁡ 1 + k 2 x 2 1 + 1 + k 2 x 2

Substituindo, temos:

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ 1 + k 2 x 2 1 + 1 + k 2 x 2 = ln ⁡ 1 + k 2 ∙ 0 1 + 1 + k 2 ∙ 0 = ln ⁡ 0 1 = - ∞

Bem, conseguimos calcular, mas como o limite deu um infinito, vamos dizer que ele não existe! Próximo!

Passo 3

Letra b

Agora bora fazer:

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 + sen ⁡ y 2 2 x 2 + y 2

Substituindo y = k x , ficamos com:

lim x → 0 ⁡ x 2 + sen ⁡ k x 2 2 x 2 + k 2 x 2 = lim x → 0 ⁡ x 2 1 + sen ⁡ k x 2 x 2 x 2 2 + k 2

= lim x → 0 ⁡ 1 + sen ⁡ k x 2 x 2 2 + k 2 = 1 2 + k 2 ∙ lim x → 0 ⁡ 1 + sen ⁡ k x 2 x 2

Agora que a coisa fica interessante, pois manipulando os limites, vemos que isso é o mesmo que:

= 1 2 + k 2 ∙ lim x → 0 ⁡ 1 + lim x → 0 ⁡ sen ⁡ k x 2 x 2 = 1 2 + k 2 ∙ 1 + lim x → 0 ⁡ sen ⁡ k x x 2

O limite que sobrou é quaaaase o limite fundamental trigonométrico. Pra ele ficar a cara do limite fundamental trigonométrico, basta a gente dar essa mudadinha nele:

= 1 2 + k 2 ∙ 1 + lim x → 0 ⁡ k ∙ sen ⁡ k x k x 2 = 1 2 + k 2 ∙ 1 + k ∙ lim x → 0 ⁡ sen ⁡ k x k x 2

Como o limite fundamental trigonométrico dá 1 , substituímos e achamos:

= 1 2 + k 2 ∙ 1 + k ∙ 1 2 = 1 + k 2 2 + k 2

Opa, então se fizermos o caminho y = k x , o limite existe e será igual a:

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 + sen ⁡ y 2 2 x 2 + y 2 C A M I N H O y = k x = 1 + k 2 2 + k 2

Como o limite depende de k , dizemos que ele não existe!

Passo 4

Letra c

Na nossa última letra, faremos:

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 x 2 + y 2 ∙ ln ⁡ x 2 + y 2

Seguindo o caminho y = k x , achamos:

lim x → 0 ⁡ x 2 x 2 + k 2 x 2 ∙ ln ⁡ x 2 + k 2 x 2 = lim x → 0 ⁡ x 2 x 2 ∙ 1 + k 2 ∙ ln ⁡ x 2 + k 2 x 2

= lim x → 0 ⁡ 1 1 + k 2 ∙ ln ⁡ x 2 + k 2 x 2

O que por fim, dá, jogando o que é constante pra fora:

1 1 + k 2 ∙ lim x → 0 ⁡ 1 ln ⁡ x 2 + k 2 x 2

Pô galera, na verdade a gente meio que já calculou esse limite. Afinal, ao substituirmos x por zero, vamos achar ln ⁡ 0 , que tende pra - ∞ . Vimos isso na letra a ! Seguindo a ideia, temos:

1 1 + k 2 ∙ 1 - ∞ = 1 1 + k 2 ∙ 0 = 0

Bem, já que o resultado foi um número, que não depende de k , então aí sim temos o limite existente! Feshow!

Resposta

  1. Limite Inexistente
  2. Limite Inexistente
  3. Limite Existente e equivalente a 0

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Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 + s e n 2 y 2 x 2 + y 2