Exercícios Resolvidos de Mostrar que o Limite Não Existe em Funções de Várias Variáveis
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UFABC. Cálculo. Funções de Várias Variáveis. Lista 2. Questão 7.
7 - Mostre que .
Passo 1
Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍
Essa questão é muuuito comum em provas e listas de cálculo e não é pra menos, vamos usar esses conceitos para a vida toda.
Por isso é muito importante estudar bem este conteúdo até ficar craque! E se depender de nós, sua nota 10 vai vim com força!
O objetivo principal desse problema é mostrar que o limite de tende a no ponto . No caso, é dado como
Afirmar isso é dizer que em todas as direções tende a , ou seja, quanto mais próximo de mais próximo fica de .
Usando a substituição direta
Caímos em uma indeterminação, então temos que contornar este problema de alguma forma.
Temos algumas formas de se calcular o limite em casos assim. Vamos para o próximo passo que te mostro um jeito muito bacana.
Passo 2
Vamos calcular o limite de através dos limites laterais, aproximando pelo ponto que estamos estudando por curvas que passam por esse ponto.
Nestes casos, quanto mais curvas usarmos mais embasadas são nossas afirmações no caso de haver um limite.
As curvas que devemos escolher, devem passar pelo ponto que estamos estudando.
Este método consiste em substituir uma variável pela curva que queremos, por exemplo:
Nos aproximando por , substituímos por no limite
Ainda não podemos substituir, mas podemos aplicar L’Hopital.
Este poderosíssimo método consiste em derivar o numerador e o denominador, com o intuito de eliminar a indeterminação.
Pela regra da cadeia
Por derivada de polinômios
Voltando ao limite, substituindo os resultados
Podemos cortar de cima com o de baixo, restando
Agora sim, substituindo por , temos
Aproximando pela curva , o limite é
Passo 3
Aproximando pela curva , fazemos os mesmos procedimentos
Aplicando L’Hopital no limite
Pela regra da cadeia
Por derivada de polinômios
Substituindo os resultados no limite
Cortando de cima com o de baixo e substituindo por 0, temos novamente
Passo 4
Vamos tentar mais uma curva, dessa vez .
Aplicando L’Hopital novamente
Pela regra da cadeia
Por derivada de polinômios
Substituindo os resultados no limite novamente
Cortando o polinômio de cima com o de baixo e substituindo por , temos
Passo 5
Podemos perceber que mão importa o que fazemos, aplicando L’Hopital e depois a regra da cadeia, sempre resultamos em , ou seja, o limite sempre se converte para .
Podemos explicar isso de forma geral, substituindo por
Aplicando L’Hopital
Pela regra da cadeia e derivação de polinômios
Substituindo os resultados no limite novamente
Como sempre é quando substituímos por , então o limite sempre é igual a !
É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌
