Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Mostrar que o Limite Não Existe em Funções de Várias Variáveis

Ver Teoria
Exercício 31245678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940414243444546474849505152535455565758596061626364656667

Enunciado

Seja

f x , y = x 2 - y 2 x 2 + y 2

Calcule

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ f ( x , y )

Passo 1

Tentar substituir valores:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 2 - y 2 x 2 + y 2 = 0 2 - 0 2 0 2 + 0 2 = 0 0

Chegamos a uma indeterminação 0 0 .

Passo 2

Ver se é possível aplicar o Teorema do Sanduíche:

Não há nenhum daqueles termos multiplicados por alguma outra expressão:

x 2 x 2 + y 2   , x x + y ,   x x 2 + y 2

Também não há nenhuma função trigonométrica. E além disso:

Grau do numerador: 2

Grau do denominador: 2

Então, suspeitamos que esse limite não existe.

Passo 3

Vamos substituir y = m x e calcular o limite através desse caminho:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 2 - y 2 x 2 + y 2 = lim x → 0 ⁡ x 2 - ( m x ) 2 x 2 + ( m x ) 2

lim x → 0 ⁡ x 2 - ( m x ) 2 x 2 + ( m x ) 2 = lim x → 0 ⁡ x 2 ( 1 - m 2 ) x 2 ( 1 + m 2 )

lim x → 0 ⁡ x 2 ( 1 - m 2 ) x 2 ( 1 + m 2 ) = lim x → 0 ⁡ 1 - m 2 1 + m 2 = 1 - m 2 1 + m 2

Então, esse limite está dependendo do caminho. Repare que, para diferentes valores de m , os limites serão diferentes.

Logo, não existe limite!

Resposta

Não existe limite.

Exercícios de Livros Relacionados

Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. lim x , y , z → 0,0 , 0 ⁡ x y + y z x 2 + y 2 + z 2
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. lim x , y → ( 1,2 ) ⁡ ( 5 x 3 - x 2 y 2 )
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. lim x , y , z → π , θ , 1 ⁡ e y 2 t g ( x z )
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. lim x , y → ( 1,0 ) ⁡ x y - y x - 1 2 + y 2
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 + s e n 2 y 2 x 2 + y 2