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Exercícios Resolvidos de Mostrar que o Limite Não Existe em Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

UFRJ, Cálculo 2, PF 2015.2, questão 9.

Considere os seguintes limites:

I lim x , y → 0,0 ⁡ x 4 - y 4 x 2 + y 2

I I lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 x 2 + y 4

  1.   I existe; ( I I ) existe
  2. I não existe; ( I I ) existe
  3. I existe; ( I I ) não existe
  4. I não existe; ( I I ) não existe

Passo 1

Bom, vamos começar pelo começo então né rs. Primeiro pelo limite ( I ) .

Primeiro vamos tentar fazer por substituição:

lim x , y → 0,0 ⁡ x 4 - y 4 x 2 + y 2 = 0 - 0 0 + 0 = 0 0

Shit! Vamos ter que buscar outro jeito então de ver se isso existe ou não.

Isso não tá com cara de que não existe e nem parece sugestivo de usar o teorema do sanduíche. Mas, se você olhar bem pra ele, no numerador temos um produto notável. Repare:

x 2 - y 2 x 2 + y 2 = x 4 - y 4

Lembra dele?

a - b a + b = ( a 2 - b 2 )

Passo 2

Então já podemos simplificar esse limite e ai fica de boas.

lim x , y → 0,0 ⁡ x 4 - y 4 x 2 + y 2 = lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 - y 2 x 2 + y 2 x 2 + y 2 = l i m x , y → 0,0 x 2 - y 2 = 0

Ótimo, esse limite ( I ) existe.

Passo 3

Agora vamos para o limite ( I I ) .

De novo, se tentarmos substituir, vamos ter a indeterminação 0 0 .

Mas, esse limite tá com uma certa cara de que não existe. Temos o grau de cima ( 2 ) menor que o grau de baixo ( 4 ) .

Vamos então tentar mostrar que por dois caminhos diferentes, temos valores diferentes para o limite.

Comecemos pelo caminho y = x

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 x 2 + x 4 = lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 x 2 ( 1 + x 2 ) = lim x , y → 0,0 ⁡ 1 1 + x 2 = 1

Passo 4

Ok, agora vamos tentar por um outro caminho. x = y 2

lim x , y → 0,0 ⁡ ( y 2 ) 2 y 2 2 + y 4 = lim x , y → 0,0 ⁡ y 4 y 4 + y 4 = lim x , y → 0,0 ⁡ y 4 2 y 4 = 1 2

Opa! Por dois caminhos diferentes, o limite deu valores diferentes, então, esse limite ( I I ) não existe.

Resposta

Letra c

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