Mostre que o valor de (x^3 * y) / (2 * x^6 + y^2) tende a 0 quando (x, y) tende a (0,0) ao longo de qualquer reta y = m * x , ou ao longo de qualquer parábola y = k * x^2

Passo 1

Bem, aplicando o limite diretamente na função dada, vemos que teremos uma indeterminação, logo, precisaremos aplicar aquele nosso raciocínio, aproximar do ponto ( 0,0 ) por duas retas distintas. Se com isso tivermos limites iguais, temos o limite definido.

Passo 2

Vamos aproximar por y = m x

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 3 y 2 x 6 + y 2 = lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ m x 4 2 x 6 + m 2 x 2

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ m x 4 x 4 2 x 2 + m 2 x 2 = lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ m 2 x 2 + m 2 x 2 = 0

Passo 3

Vamos agora fazer y = k x 2

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x 3 y 2 x 6 + y 2 = lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ k x 5 2 x 6 + k 2 x 4

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ k x 5 x 5 2 x + k 2 x 2 = 0

Logo, esse limite também deu zero!!

Resposta

Explicação

Exercícios Resolvidos de Mostrar que o Limite Não Existe em Funções de Várias Variáveis

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