Exercícios Resolvidos de Mostrar que o Limite Não Existe em Funções de Várias Variáveis
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Lista 2 - Limites e Continuidade
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe (Justifique!)
Passo 1
Falaee, tudo tranquilo?? Bom... queremos determinar o valor do seguinte limite:
Caso ele n��o exista, deveremos justificar.
Então é só a gente substituir o limite? Vamos ver:
Hm... cehgou em uma indeterminação... E agora??
Para a gente resolver um limite com duas variáveis, temos que relacionar essas duas variáveis como uma curva e aplicar no limite.
Se todas essas curvas (ou caminhos) resultarem em um valor específico , então provavelmente o limite existe. E, para provar, deveremos fazer uma análise mais aprofundada e geral sobre os caminhos possíveis.
Por outro lado, se os caminhos retornarem valores diferentes de limites, então ele não existe e está provado a sua inexistência!!
Agora bora lá!! 😉
Passo 2
Primeiramente, vamos fazer pela trajetória em que .
Nesse caso, o nosso limite fica:
Nosso limite resultou em zero! Agora vamos observar outro caminho!!
Passo 3
Agora, vamos pelo caminho em que :
Hm... nosso limite também resultou em zero!!
Vamos tentar uma outra curva?
Passo 4
Vamos tentar agora pela reta :
Reorganizando:
Simplificando:
Aplicando o limite, teremos:
Olha o zero aí de novo!!!
Agora vamos para uma análise mais genérica e aprofundada para podermos ver se esse limite realmente existe!
Passo 5
Agora vamos adotar a seguinte curva genérica:
Onde é uma constante.
Dessa forma, o nosso limite fica:
Reorganizando a expressão:
Colocando o em evidência:
Simplificando:
Aplicando o limite, temos que:
Eita... agora nessa análise vimos que o limite teve um resultado diferente de zero e que ele depende de um fator !
Dessa forma, o nosso limite não existe!!!
Entendeu direitinho?? Responde aí!! 😉
Resposta
O limite não existe.