Exercícios Resolvidos de Mostrar que o Limite Não Existe em Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe (Justifique!)

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 y x 4 + y 2

Passo 1

Falaee, tudo tranquilo?? Bom... queremos determinar o valor do seguinte limite:

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 y x 4 + y 2

Caso ele n��o exista, deveremos justificar.

Então é só a gente substituir o limite? Vamos ver:

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 y x 4 + y 2 = 0 0

Hm... cehgou em uma indeterminação... E agora??

Para a gente resolver um limite com duas variáveis, temos que relacionar essas duas variáveis como uma curva e aplicar no limite.

Se todas essas curvas (ou caminhos) resultarem em um valor específico β , então provavelmente o limite existe. E, para provar, deveremos fazer uma análise mais aprofundada e geral sobre os caminhos possíveis.

Por outro lado, se os caminhos retornarem valores diferentes de limites, então ele não existe e está provado a sua inexistência!!

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Primeiramente, vamos fazer pela trajetória em que y = 0 .

Nesse caso, o nosso limite fica:

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 y x 4 + y 2 = lim x → 0 ⁡ x 2 ⋅ 0 x 4 + 0 2 ∴

= lim x → 0 ⁡ 0 x 4 ∴

= 0

Nosso limite resultou em zero! Agora vamos observar outro caminho!!

Passo 3

Agora, vamos pelo caminho em que x = 0 :

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 y x 4 + y 2 = lim y → 0 ⁡ 0 2 y 0 4 + y 2 ∴

= lim y → 0 �� 0 y 2 ∴

= 0

Hm... nosso limite também resultou em zero!!

Vamos tentar uma outra curva?

Passo 4

Vamos tentar agora pela reta y = x :

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 y x 4 + y 2 = lim x → 0 ⁡ x 2 ⋅ x x 4 + x 2

Reorganizando:

= lim x → 0 ⁡ x 3 x 2 x 2 + 1

Simplificando:

= lim x → 0 ⁡ x x 2 + 1

Aplicando o limite, teremos:

= 0 0 2 + 1 ∴

= 0

Olha o zero aí de novo!!!

Agora vamos para uma análise mais genérica e aprofundada para podermos ver se esse limite realmente existe!

Passo 5

Agora vamos adotar a seguinte curva genérica:

y = m x 2

Onde m é uma constante.

Dessa forma, o nosso limite fica:

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 y x 4 + y 2 = lim x , m x 2 → 0,0 ⁡ x 2 m x 2 x 4 + m x 2 2

Reorganizando a expressão:

= lim x , m x 2 → 0,0 ⁡ m x 4 x 4 + m 2 x 4

Colocando o x 4 em evidência:

= lim x , m x 2 → 0,0 ⁡ m x 4 x 4 1 + m 2

Simplificando:

= lim x , m x 2 → 0,0 ⁡ m 1 + m 2

Aplicando o limite, temos que:

= m 1 + m 2

Eita... agora nessa análise vimos que o limite teve um resultado diferente de zero e que ele depende de um fator m !

Dessa forma, o nosso limite não existe!!!

Entendeu direitinho?? Responde aí!! 😉

Resposta

O limite não existe.

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