Exercícios Resolvidos de Mostrar que o Limite Não Existe em Funções de Várias Variáveis
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UTFPR – Cálculo 2 – P1 2021.1 – Questão 4
Determine o conjunto de pontos em que a função é contínua
Passo 1
Oiii pessoal, vamos entender essa questão de continuidade
Temos essa função definida em partes
E queremos saber em quais pontos do essa função é contínua
Olha só, a função só dá problema quando e . Em todo o resto ela é contínua!
Mas esse ponto é justamente o ponto de quebra da função, quando ela muda de comportamento. Então ainda tem chance de rolar uma continuidade ali
Então, já podemos afirmar que a função é contínua em todo o , mas que ainda precisamos testar no ponto
Pra que ela seja contínua em , o limite de quando tem que ser igual o valor da função nesse ponto, ou seja, igual a
Vamos lá calcular esse limite!
Passo 2
Precisamos calcular
Se esse limite der , a função é contínua em todo o , incluindo no ponto
Se der diferente de 0, a função só não é contínua no ponto
Bem, repara que o grau do numerador é menor do que o grau do denominador. Então tem grandes chances de esse limite nem existir
Então, vamos fazer o teste pra ver se esse limite existe.
O teste consiste em calcular o limite por caminhos diferentes que passem pelo ponto . Nesse caso, podemos por exemplo calcular o limite pela reta e pela reta , que são caminhos que passam pelo ponto
Passo 3
Vamos começar calculando o limite pelo caminho :
Opa, temos . Independentemente do valor que o estiver tendendo, isso sempre vai pra 0
Então:
Agora vamos testar por outro caminho ok?
Passo 4
Vamos calcular o nosso limite agora pelo caminho da reta :
Opa, indo por outro caminho o resultado deu diferente!!
Isso quer dizer que o limite da função quando tende a não existe!!
Portanto, não deu igual a ! Logo, a função não é contínua no ponto
Os pontos de continuidade da função são
Fechou?