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Exercícios Resolvidos de Mostrar que o Limite Não Existe em Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Considere a função

f x , y = x 3 y x 6 + y 2

Podemos dizer que:

  1. l i m x → 0   f x , b x 2   existe e varia com b ∈ R
  2. l i m x → 0   f x , a x 3   existe e varia com a ∈ R
  3. l i m ( x , y ) → ( 0,0 )   f x , y   = 0
  4. Nenhuma das afirmativas está correta
  5. l i m x → 0   f x , c x 2   não existe para c ≠ 0

Passo 1

Vamos começar analisando a afirmativa da letra a .

l i m x → 0   f x , b x 2   = l i m x → 0   x 3 b x 2 x 6 + b 2 x 4  

l i m x → 0     x 3 b x 2 x 6 + b 2 x 4   = l i m x → 0   b x 5 x 4 x 2 + b 2   = l i m x → 0   b x x 2 + b 2   = 0

Então, é verdade que o limite existe quando seguimos esse caminho y = b x 2 , mas ele não varia com b , então a afirmativa é falsa.

Passo 2

Vamos analisar agora a afirmativa da letra b .

l i m x → 0   f x , a x 3   = l i m x → 0   x 3 a x 3 x 6 + a 2 x 6  

l i m x → 0   x 3 a x 3 x 6 + a 2 x 6   = l i m x → 0   a x 6 x 6 ( 1 + a 2 )   = a ( 1 + a 2 )  

O limite depende do caminho a . O que isso quer dizer??

Bom, isso nos diz que l i m x → 0   f x , y não existe! Maaasss l i m x → 0   f x , a x 3 existe sim e depende de a . Ok? Essa é a nossa resposta! Se quiser, podemos analisar as outras logo abaixo.

Passo 3

A afirmativa da letra c diz que

l i m ( x , y ) → ( 0,0 )   f x , y   = 0

Mas po, se no passo 1 a gente calculou o limite por um caminho e teve um resultado e no passo 2 a gente calculou por outro caminho e teve outro resultado, então significa que o limite l i m ( x , y ) → ( 0,0 )     f x , y   NÃO existe, né?

Mentira descarada essa afirmativa então.

Passo 4

Por fim, vamos analisar a última afirmação.

l i m x → 0   f x , c x 2   = l i m x → 0   x 3 c x 2 x 6 + b 2 x 4  

l i m x → 0   x 3 c x 2 x 6 + c 2 x 4   = l i m x → 0   c x 5 x 4 x 2 + c 2   = l i m x → 0   c x x 2 + c 2   = 0

(repare que é igualzinho a letra a , mas trocando b por c ).

O limite nem depende de c , então por que que ele não existiria pra c ≠ 0 ?

Falso também.

Resposta

L e t r a   b

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