Considere a função e seja a curva de nível de que passa pelo ponto .

1. Represente geometricamente o domínio de e Faça um esboço da curva .
2. Determine uma parametrização para a curva , isto é, encontre um intervalo e uma função contínua cuja imagem é .
3. Decida se existe

Como o enunciado pede pra dar a interpretação geométrica do domínio, é só a gente esboçar a curva e depois pegar a região denotada por .

Bom, temos um termo isolado de potência e outro ao quadrado do lado direito. Isso só pode ser uma parábola!! De fato, é uma parábola, mas deitada (perceba, temos em função de , é uma parábola com os eixos trocados ;) ), com o vértice em e apontando no sentido positivo do eixo . Podemos concluir esses dois últimos fatos porque o coeficiente de é positivo, e se fizermos temos !

Assim, nossa curva é a parábola:

E a região que encontramos para o domínio é , ou seja, os pontos sempre a direita da linha da parábola, excluindo a própria linha, pois o sinal é de e não

Agora temos que encontrar essa curva de nível que contém o ponto . Bom, antes de mais nada, temos que descobrir qual é esse nível!!

Para isso, basta substituirmos o ponto dado na função. Fica assim:

Simples assim!

Agora que temos o nível, vamos igualar a função a essa constante, e então encontrar a equação para a curva .

Aqui vem um detalhe importante, perceba que o é igual a uma raiz! Só por isso já poderíamos afirmar que . Mas acontece que o argumento da raiz quadrada tem umas particularidades. Veja que se colocássemos , teríamos , ou seja, sobre alguma coisa dá ! Então não seria uma curva de nível , pois o valor de seria , e o não conseguiria “compensar”.

Continuando...

Podemos completar o quadrado para o , somando de cada lado:

E eis aí equação da nossa curva !! Vamos ver que curva é essa?

Temos a curva:

Que tem ambas as variáveis somadas e elevadas ao quadrado. E, além disso, os denominadores dessas variáveis são diferentes... É uma elipse! Veja, pela equação da elipse fica mais fácil de perceber:

Sendo que seus vértices estão em e , ou seja, e .

Mas, não esqueça do que falamos ali em cima, !! Então, na prática, temos uma parte da elipse, apenas. Que é a do lado positivo do eixo :

b) Vamos parametrizar essa “elipse”? Bom, me parece mais fácil parametrizar a elipse toda, como se não tivéssemos essa parada de , e depois restringir o parâmetro. Vamos lá?

Se temos uma elipse genérica, , então sabemos que sua parametrização é:

Então, olhando pra isso, a parametrização da nossa elipse será:

Legal, agora temos que adicionar a restrição para completar a parametriza��ão! Como e , temos que .

Assim, prosseguimos dizendo que e, portanto, . Para atender a este requisito, deve estar entre e .

E a parametrização fica sendo:

1. Vamos ver agora se existe.

Da equação do enunciado, temos:

Agora vamos testar o limite pela curva . Assim, teremos e :

Ok, acabamos de ver que, por essa curva, teremos um limite que vale .

Agora, vamos, por exemplo, testar a curva do item , que, afinal, está contida na superfície de , por ser uma curva de nível!

Para que na curva , teremos que:

E, apenas conferindo, se colocarmos para a coordenada , teremos:

Ou seja, temos o ponto quando o parâmetro vale .

Então, o limite será:

Mas calma, a curva não é uma curva de nível da função? Então, sabemos que o valor da função para qualquer ponto dessa curva é o valor do nível! Ou seja, !

Então, o limite fica sendo:

E acabamos de provar que o limite não existe! Pois se por uma curva ele assume um valor e por outra assume outro, então ele não existe ;)