Exercícios Resolvidos de Mostrar que o Limite Não Existe em Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Para cada um dos itens a seguir, mostre se o limite existe ou não. Determine o limite caso exista e justifique suas respostas.

Passo 1

Percebemos de cara que isso vai dar uma indeterminação . O que fazer então?

Cara, a primeira coisa quando a gente vê esse tipo de questão é se perguntar: eu consigo fazer algum caminho , ou e assim vai ou , ou e assim vai; de modo que o grau do polinômio de cima fique o mesmo ou menor do que o polinômio de baixo?

A resposta para o nosso é sim! Como assim? Repara que se a gente fizer o caminho:

Nosso limite fica assim:

Aí a gente consegue provar que nosso limite depende do valor de , isso quer dizer que ele depende do caminho escolhido, por isso a gente diz que ele não existe!

Repara que essa mudança fez os graus dos polinômios de cima e de baixo ficarem iguais. Aí a gente pode colocar a variável em evidência e provar que o limite não existe.

Arrasamos!

Resposta

Não existe

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Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. lim x , y , z → 0,0 , 0 ⁡ x y + y z x 2 + y 2 + z 2

Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. lim x , y → ( 1,2 ) ⁡ ( 5 x 3 - x 2 y 2 )

Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. lim x , y , z → π , θ , 1 ⁡ e y 2 t g ( x z )

Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. lim x , y → ( 1,0 ) ⁡ x y - y x - 1 2 + y 2

Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 + s e n 2 y 2 x 2 + y 2