Exercícios Resolvidos de Mostrar que o Limite Não Existe em Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

USP – Cálculo 2 – 2019 – P1 – Exercício 29

Considere a função

para todo e . O valor do limite é

a) .

b) .

c) .

d) .

e) inexistente.

Passo 1

Eai pessoal, beleza? Bora tentar calcular esse limite?

Queremos calcular o limite:

Note que quando e , o primeiro termo tende a

Quando olhamos para o segundo termo, vemos que ele fica numa indeterminação do tipo . Por uma questão de simplicidade, vamos chamar

Assim,

A primeira parte vimos que tende a , e a segunda?

Passo 2

Para a segunda parte, vamos calcular o limite por caminhos diferentes para ver se ele existe! Olhando apenas para a segunda parte, testemos a curva com . Note que

Portanto,

Agora vamos testar um caminho , de modo que com . Assim,

Logo,

Assim, por esses caminhos:

Para que o limite exista, não importa o caminho, o limite deve ser o mesmo. Se por caminhos diferentes os limtes derem diferentes, isso significa que ele não existe...

Passo 3

Como os limites por caminhos diferentes são diferentes, podemos garantir que ele não existe! Com isso, caímos na alternativa E 😊

Resposta

Alternativa E.

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Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. lim x , y , z → 0,0 , 0 ⁡ x y + y z x 2 + y 2 + z 2

Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. lim x , y → ( 1,2 ) ⁡ ( 5 x 3 - x 2 y 2 )

Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. lim x , y , z → π , θ , 1 ⁡ e y 2 t g ( x z )

Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. lim x , y → ( 1,0 ) ⁡ x y - y x - 1 2 + y 2

Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 + s e n 2 y 2 x 2 + y 2