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Exercícios Resolvidos de Mostrar que o Limite Não Existe em Funções de Várias Variáveis

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Enunciado

Considere a função

f x , y = 2 x 2 y x 4 + y 2

Podemos dizer que:

  1. l i m y → 0   f ( b y , y )   existe e varia com b ∈ R
  2. l i m y → 0   f a y 2 , y     n ã o   e x i s t e
  3. l i m ( x , y ) → ( 0,0 )   f ( x , y )   = 0
  4. l i m x → 0   f ( x , a x 2 )   existe e varia com a ∈ R
  5. Nenhuma das outras afirmativas está correta.

Passo 1

Vamos testar cada um desses casos.

Começando pelo primeiro:

l i m y → 0   f ( b y , y )   = l i m y → 0   2 b ² y 2 y b 4 y 4 + y 2   = l i m y → 0   2 b ² y 3 y 2 ( b 4 y 2 + 1 )   = l i m y → 0   2 b 2 y b 4 y 2 + 1   = 0

Assim, a afirmativa é falsa, pois, embora o limite exista (e seja igual a zero), ele não varia com b . Ou seja, independente do valor de b , esse limite vale sempre zero.

Passo 2

Próxima então:

l i m y → 0   f a y 2 , y   = l i m y → 0   2 a ² y 4 y a 4 y 8 + y 2   = l i m y → 0   2 a ² y 5 y 2 ( a 4 y 4 + 1 )   = l i m y → 0   2 a 2 y 3 a 4 y 4 + 1   = 0

Ou seja, afirmativa falsa, pois o limite existe sim e é igual a zero.

Passo 3

Agora, em vez de testar a letra c , vamos pular para a letra d .

“Ahh, mas por quê?”

Porque até agora a gente calculou o limite por dois caminhos diferentes e deu zero. Mas isso não quer dizer que o limite é zero mesmo. Então, se a gente testar a letra d e ela for verdadeira, então o limite vai depender do caminho. Vamos torcer pra dar certo então...

l i m x → 0   f ( x , a x 2 )   = l i m x → 0   2 x 2 a x 2 x 4 + a 2 x 4   = l i m x → 0   2 a x 4 x 4 ( 1 + a 2 )   = l i m x → 0   2 a ( 1 + a 2 )   = l i m x → 0   2 a ( 1 + a 2 )

OPA OPA OPA!

Esse limite depende de a e nos outros caminhos dão zero.

Entãoooooooooo, o limite depende do caminho! Ele não é zero! A letra c vai ser falsa e o f ( x , y )   não vai existir.

ATENÇÃO! O f ( x , a x 2 )   existe sim! O que não existe é o f ( x , y )   , beleza?!

Resposta

L e t r a   d

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