Exercícios Resolvidos de Mostrar que o Limite Não Existe em Funções de Várias Variáveis
Ver TeoriaEnunciado
UFMG – Cálculo 2 – P2 – Questão 5
Mostre que o limite abaixo não existe
Passo 1
Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou facilitar para você!
O problema nos deu um limite
E pediu para mostrar que esse limite não existe!
Bom, para início de conversa, o que é mesmo o limite não existir?
Quando estamos falando de funções de uma variável, o limite existe quando o valor dos limites bilaterais, é igual ao limite no ponto, assim:
Se forem diferentes, então dizemos que o limite não existe.
Mas e quando falamos de funções de várias variáveis? Como que fazemos esse “sanduíche” de limite?
Quando falamos em funções de várias variáveis, para o limite existir, precisamos encontrar o mesmo valor por caminhos diferentes
Quando a função só tem uma variável, só temos que avaliar o limite pela direita ou pela esquerda, no entorno do ponto, pois estamos falando de uma curva, e ela tem só um caminho a seguir.
Mas quando a função é de várias variáveis, para o limite existir, ele tem que assumir o mesmo valor vindo de qualquer caminho, pois estamos falando de uma superfície!
Mas e quando esse limite não existe?
Aí que tá! Quando encontramos uma indeterminação! Quando for assim, é interessante avaliar se esse limite não existe, porque se for verdade, isso vai nos poupar tempo! Não vamos quebrar a cabeça tentando resolver por várias técnicas diferentes, já que esse limite não existe né?! Sacou?
E essa é a única coisa que basta para o limite não existir: valores diferentes para o mesmo limite
Tranquilo?
Mas relaxa que vou fazer passo a passo com você!
Vamos lá?
Passo 2
O limite que precisamos mostrar que não existe é:
Vamos substituir e verificar que tenhamos uma indeterminação:
Pronto! Achamos uma indeterminação!
Agora vamos à escolha dos caminhos!
Passo 3
A escolha do caminho precisa ser conveniente! Vamos analisar nossa função:
Temos uma potência de em cima multiplicando um , e embaixo temos um somado com . Se escolhermos um caminho simples, como por exemplo
Vamos ter potências diferentes no denominador e não vamos conseguir simplificar nada, saca só:
Ficou complicado né? Se avaliarmos esse limite para (que é o ponto que queremos) vamos ter uma indeterminação novamente...
mas calma! Eu falei que a escolha do caminho precisa ser conveniente
Nesse caso, um caminho conveniente seria aquele que desse para somar os denominadores, assim poderemos simplificar com o numerador. Então vamos olhar com mais carinho o denominador:
São duas potências diferentes, e sabemos que a soma de potências é feita quando os termos são semelhantes (ou seja, com mesma parte literal, expoente, tudo)
Então seria conveniente chamar
Pois quando elevarmos ao quadrado (pois é isso que temos no denominador, um ) teremos
Um !
Beleza?
Então é isso que vamos fazer: substituir pelo caminho na função que queremos calcular o limite!
Voltando com o limite:
Notem que segue indo para zero, na dele. Quem está ‘mudando’ o caminho é o !
E olha lá o sendo simplificado em cima e embaixo:
E agora, podemos calcular esse limite? A resposta é sim! Já que ele não depende de nem de mais, o limite é aquela expressão em mesmo:
Sendo assim, para cada escolha de , o valor do limite da expressão
Vai ser diferente!
Por exemplo, escolhendo , ou seja, indo pelo caminho :
E escolhendo , indo pelo caminho , o valor do limite é:
Um valor completamente diferente!
É como se os limites bilaterais fossem diferentes, saca?
Então mostramos que o limite não existe.
Ufa! Terminamos!
Espero ter ajudado!
Bora para próxima?