Exercícios Resolvidos de Mostrar que o Limite Não Existe em Funções de Várias Variáveis
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UNICAMP – Cálculo 2 – Provas Antigas – P1 – 2022.1 – 3
Considere a função:
- Calcule o limite ou mostre que esse limite não existe.
- Calcule o limite ou mostre que esse limite não existe.
- é contínua em ? Justifique.
- é contínua em ? Justifique.
Passo 1
Eaeeee, belezinha??? Seguinte... na letra (a) queremos calcular o limite:
Se a gente simplesmente substituir para em , vamos ter:
Puts, uma indeterminação matemática... Vamos ter que pensar em outro jeito de resolver.
Lembra que, pra um limite existir, é necessário que os limites em qualquer direção precisam ser iguais?
É a mesma ideia dos limites laterais de cálculo , mas como agora a função é de duas variáveis temos várias direções possíveis pra tender a um determinado valor.
Então, bora tentar duas direções diferentes pra ver se esses limites são iguais 😊
Considere as curvas e que se aproximam do ponto quando .
Assim, no caso em que , temos:
E, no caso em que , temos:
Como os limites são diferentes, então o limite de em não existe.
Passo 2
Na letra (b), fazendo o limite , temos:
Prontinho! 😊
Passo 3
Agora vamos na analisar a continuidade da função. Mas, o que uma função de duas variáveis precisa para ser considerada contínua?
Bom, ela precisa obedecer que:
Na letra (c), devemos analisar se a função é contínua em .
Mas, como vimos no item a), o limite de sequer existe para . Logo, não é contínua em .
Passo 4
E, na letra (d), precisamos avaliar se é contínua em .
Como vimos na letra b),
Mas:
Daí, como já era esperado podemos dizer que é contínua em .
Entendeu direitinho? Responde aee ;)
Resposta
- Não existe
- não é contínua em
- é contínua em