Exercícios Resolvidos de Mostrar que o Limite Não Existe em Funções de Várias Variáveis
Ver TeoriaEnunciado
Livro James Stewart, Volume 2, 7ª Edição, Capítulo 14, Seção 2, Exercício 16
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
Faala, meu povo! Tudo bem com vocês? Partiu resolver mais um exercício?
Como a intenção é encontrar o limite da função, precisamos verificar a continuidade dela em todos os pontos do eixo dos números reais.
Lembrando que na matemática, uma função é continua quando, intuitivamente, as pequenas variações nos objetos correspondem a pequenas variações nas imagens, ou seja, vamos encontrar os valores que podem ser inseridos na função que encontraremos uma imagem no campo dos números reais.
Para isso, observaremos onde a função pode dar errado. Tá, mas como assimmmmm?
Matematicamente algumas coisas nunca podem acontecer. Como é o caso da divisão por zero.
Na nossa função, por exemplo, o denominador não pode ser zero.
De cara já podemos ver que não é contínua no ponto já que o denominador não pode ser zero.
Passo 2
Para sabermos se existe limite vamos aproximar ao longo do eixo , ou seja, tomar
Repara que o numerador zerou e o denominador está em função de
Agora vamos aproximar ao longo do eixo , ou seja, tomar :
Repara que o numerador zerou e o denominador está em função de
Agora nos aproximar tomando a reta teremos:
Não chegamos a nenhum valor. Vamos avaliar esse limite,
Então, galerinha, se tentarmos a aproximação pelas parábolas ou , o limite também dá zero.
Logo, há uma forte suspeita de que o limite seja zero.
Passo 3
Para confirmar nossa suspeita vamos utilizar o teorema do confronto!
A mensagem do Teorema do Confronto é que, se uma função que está no meio de outras duas funções que tem o mesmo limite, então obrigatoriamente a função que está no meio terá o mesmo limite das outras duas.
Sabemos que
Logo,
Como , podemos multiplicar nos dois lados:
Passo 4
Agora vamos aplicar o limite:
Logo,
Para essa questão é isso pessoal! Bora resolver mais uma?
Resposta
0