Calcule, caso exista, o limite abaixo. Se existir, explique por quê.

Beleza, vamos destruir esse limite? Nossa ideia é percorrer essa função por uma curva, de maneira que obtenhamos “mais de um limite” (provando que ele não existe) , ou caiamos em algo bem definido, que independa das variáveis (e então ele poderá existir).

A dica quando se tem esse formato de função é percorrer por uma curva parametrizada de maneira que o grau do parâmetro no numerador seja igual ao no denominador. Isso sugere que escolhamos uma curva parametrizada por . Como no numerador e se multiplicam, sabemos que vai ficar algo assim:.

Mas no denominador, o grau de não interfere no grau de . Então, depois de parametrizarmos, vai ficar simplesmente . Lembrando do que disse ali em cima, queremos que o grau de cima seja o mesmo grau de baixo. Como o grau do numerador é e os graus do denominador são e , temos que a relação entre e é dada por:

Ou seja, o grau do numerador deve ser igual ao grau do denominador!

Resolvendo temos que . Ou seja, podemos escolher qualquer parametrização que tenha essa proporção entre os expoentes de .

Vamos escolher a mais simples, .