Passo 1
Primeiramente, vamos relembrar como calculamos o limite de uma sequência :
No nosso caso, ficamos com:
Se esse limite existe e for um número, a sequência converge e o limite dela é este número. Caso contrário, ela diverge. O bom é que aquelas propriedades de limites de funções também servem aqui! Uma que vamos usar é:
Passo 2
Então vamos reescrever nosso limite assim:
A primeira parte do limite podemos dividir o numerador e denominador por :
Perceba que o denominador está indo para infinito, enquanto o numerador está fixo. Logo:
Passo 3
Bom, agora vamos atacar a segunda parte do limite. Quando a gente se depara com funções periódicas, é muito comum usarmos o Teorema do Confronto e é isso o que faremos agora. Dá uma olhada:
A ideia aqui é a gente manipular essa relação até aparecer ali no meio o termo que nos importa, que no nosso caso é
Show!!! Apareceu! Agora, a única coisa que precisamos fazer é jogar o limite em todos eles! Bora lá!
Portanto,
Passo 4
Maneiroooo! Podemos voltar pro limite que queremos calcular:
Como encontramos um número, a sequência é convergente. E possui um limite que é o .