Dado , definindo a sequência por

Tem-se que

Escolha uma opção:

Nosso termo geral é:

Calcular essa integral é igual a gente fazia lá em cálculo 1. Não precisamos pensar que esse representa alguma coisa, vamos encarar ele como um número qualquer.

Aí temos uma integral com integrando do tipo exponencial vezes seno.

Das técnicas que a gente vê lá no cálculo, a que se aplica aqui é a integração por partes, já que não temos uma fórmula explícita para esse integrando e nem uma função e sua derivada, o que nos levaria a uma integração por substituição.

A integração por partes nós usamos quando aparece um produto de funções de tipos diferentes (no nosso caso uma exponencial e outra trigonométrica)

A ideia é chamar a função que seja fácil de derivar e chamar de e a função que seja fácil de integrar e chamar de .

E aí transformar nossa integral em duas partes:

Depois de integrar, não esquece de aplicar nos limites!

Nossa integral

No nosso caso a função mais fácil de derivar é a exponencial e já vou calcular a derivada de , então:

E a função seno vai ser nosso , aqui também já vou integrar:

E agora aplicar a fórmula da integração por partes:

Opa!

A integral que encontramos no lado direito tem o integrando com um produto de funções distintas, ou seja, integração por partes de novo!

Vamos calcular ela separadamente:

Vou usar de novo como função a exponencial e a função a trigonométrica:

Aí aplicando a integração por partes

Putz! Mas agora complicou! Encontramos uma integral com produto de funções diferentes DE NOVO! Mas é isso mesmo! Como uma das funções é trigonométrica e a outra é a exponencial, nenhuma delas ao derivar se torna mais simples, como acontece em um polinômio.

Mas calma! Vamos colocar esse nosso resultado lá no final do passo 2 e ver o que encontramos

Resgatando do passo 2 a nossa integral temos

E podemos substituir o resultado da integral do cosseno que achamos no passo anterior:

E vou multiplicar por pra tirar o resultado de dentro das chaves:

Agora dá uma olhadinha com carinho nas integrais do lado esquerdo e a do lado direito: elas são iguais! Podemos chamar de !

Aí temos:

E podemos isolar esse :

Então nossa integral tem uma cara:

Beleza até aqui? Vivos?

Respira a vamos seguir!

Achamos a cara do nosso termo geral, lembrando que tínhamos

Agora nossa missão é encontrar o limite dessa função quando . Notem que a expressão do nosso termo geral depende apenas de e de (que é um número positivo).

Calculando o limite:

Lembrando de cálculo 1: a soma dos limites é o limite da soma, então vou separar em três limites e analisar cada um deles:

Vamos analisar cada um separadamente?

O primeiro limite:

Como é constante, o termo pode sair pra fora do limite:

A parte do cosseno fica sempre entre os valores de a quando aumenta, pois a função cosseno é limitada. Já a exponencial no denominador assume valores cada vez maiores à medida que aumenta, isso significa que temos um comportamento do tipo e nosso primeiro limite tende à zero.

O segundo limite:

Como é constante, todo termo pode sair pra fora do limite:

Esse segundo limite independe de , e assume um valor finito.

Vamos para o terceiro limite?

O primeiro limite:

Como é constante, aquele parênteses todo pode sair pra fora do limite:

A parte do seno fica sempre entre os valores de a quando aumenta, pois a função seno também é limitada. Já a exponencial no denominador assume valores cada vez maiores à medida que aumenta, isso significa que temos um comportamento do tipo e nosso primeiro limite tende à zero.

Agora vamos juntar todos esses resultados:

E a alternativa que nos diz isso é a letra (e)

Beleza?

Espero ter ajudado!

Até a próxima!