Exercícios Resolvidos de Regra de L'Hôpital e Teorema do Confronto

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Enunciado

Dado s > 0 , definindo a sequência a n n ∈ N por

a n = ∫ 0 n e - s x s e n x d x ,

Tem-se que

Escolha uma opção:

  1. a n   = 0
  2. a n   = s
  3. a n   = 1 / s 2
  4. a n   = s
  5. a n   = 1 s 2 + 1

Passo 1

Oi galera, tudo tranquilo? Essa questão parece ser cabeluda, mas vou resolver junto com você! Vem comigo!

O problema nos deu uma sequência assim:

a n = ∫ 0 n e - s x s e n x d x ,

Dizendo que s é positivo. E nos perguntou quanto é o limite do termo geral a n   dessa sequência quando n → ∞ .

Bom, o primeiro passo é descobrir quem é esse tal termo geral a n . A ideia aqui é fazer essa integral para determinar a expressão do termo geral

Em seguida, com essa expressão na mão, calcular o limite quando n → ∞ .

Beleza? Vamos começar?

Passo 2

Nosso termo geral é:

a n = ∫ 0 n e - s x s e n x d x ,

Calcular essa integral é igual a gente fazia lá em cálculo 1. Não precisamos pensar que esse n representa alguma coisa, vamos encarar ele como um número qualquer.

Aí temos uma integral com integrando do tipo exponencial vezes seno.

Das técnicas que a gente vê lá no cálculo, a que se aplica aqui é a integração por partes, já que não temos uma fórmula explícita para esse integrando e nem uma função e sua derivada, o que nos levaria a uma integração por substituição.

A integração por partes nós usamos quando aparece um produto de funções de tipos diferentes (no nosso caso uma exponencial e outra trigonométrica)

A ideia é chamar a função que seja fácil de derivar e chamar de u e a função que seja fácil de integrar e chamar de d v .

E aí transformar nossa integral em duas partes:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Depois de integrar, não esquece de aplicar nos limites!

Nossa integral

∫ 0 n e - s x s e n x d x ,

No nosso caso a função mais fácil de derivar é a exponencial e já vou calcular a derivada de u , então:

u = e - s x   ; d u = - s e - s x d x

E a função seno vai ser nosso d v , aqui também já vou integrar:

d v = s e n x d x     ;     v = - c o s ⁡ ( x )

E agora aplicar a fórmula da integração por partes:

∫ 0 n e - s x s e n x d x = - c o s c o s   x   e - s x x = 0 x = n - ∫ 0 n - c o s c o s   x   . ( - s e - s x ) d x  

= - c o s c o s   n   e s n + 1 - s ∫ 0 n e - s x c o s ⁡ ( x ) d x

Opa!

Passo 3

A integral que encontramos no lado direito tem o integrando com um produto de funções distintas, ou seja, integração por partes de novo!

Vamos calcular ela separadamente:

∫ 0 n e - s x c o s ⁡ ( x ) d x

Vou usar de novo como função u a exponencial e a função d v a trigonométrica:

u = e - s x     ;     d u = - s e - s x d x

d v = c o s c o s   x   d x ;     v = s e n ( x )

Aí aplicando a integração por partes

∫ 0 n e - s x c o s ⁡ ( x ) d x = e - s x s e n x x = 0 x = n - ∫ 0 n - s e - s x s e n x d x = s e n n e s n + s ∫ 0 n e - s x s e n ( x ) d x

Putz! Mas agora complicou! Encontramos uma integral com produto de funções diferentes DE NOVO! Mas é isso mesmo! Como uma das funções é trigonométrica e a outra é a exponencial, nenhuma delas ao derivar se torna mais simples, como acontece em um polinômio.

Mas calma! Vamos colocar esse nosso resultado lá no final do passo 2 e ver o que encontramos

Passo 4

Resgatando do passo 2 a nossa integral temos

∫ 0 n e - s x s e n x d x = - c o s c o s   n   e s n + 1 - s ∫ 0 n e - s x c o s ⁡ ( x ) d x

E podemos substituir o resultado da integral do cosseno que achamos no passo anterior:

∫ 0 n e - s x s e n x d x = - c o s c o s   n   e s n + 1 - s s e n n e s n + s ∫ 0 n e - s x s e n x d x

E vou multiplicar por – s pra tirar o resultado de dentro das chaves:

∫ 0 n e - s x s e n x d x = - c o s c o s   n   e s n + 1 - s s e n n e s n - s 2 ∫ 0 n e - s x s e n x d x

Agora dá uma olhadinha com carinho nas integrais do lado esquerdo e a do lado direito: elas são iguais! Podemos chamar de A !

∫ 0 n e - s x s e n x d x ⏝ A = - c o s c o s   n   e s n + 1 - s s e n n e s n - s 2 . ∫ 0 n e - s x s e n x d x ⏝ A

Aí temos:

A = - c o s c o s   n   e s n + 1 - s s e n n e s n - s 2 A

E podemos isolar esse A :

A + s 2 A = - c o s c o s   n   e s n + 1 - s s e n n e s n

A 1 + s 2 = - c o s c o s   n   e s n + 1 - s s e n n e s n

A = - c o s c o s   n   e s n s 2 + 1 + 1 s 2 + 1 - s s 2 + 1 . s e n n e s n

Então nossa integral tem uma cara:

∫ 0 n e - s x s e n x d x = - c o s c o s   n   e s n s 2 + 1 + 1 s 2 + 1 - s s 2 + 1 . s e n n e s n

Beleza até aqui? Vivos?

Respira a vamos seguir!

Passo 5

Achamos a cara do nosso termo geral, lembrando que tínhamos

a n = ∫ 0 n e - s x s e n x d x

= - c o s c o s   n   e s n s 2 + 1 + 1 s 2 + 1 - s s 2 + 1 . s e n n e s n

Agora nossa missão é encontrar o limite dessa função quando n → ∞ . Notem que a expressão do nosso termo geral depende apenas de n e de s (que é um número positivo).

Calculando o limite:

- c o s c o s   n   e s n s 2 + 1 + 1 s 2 + 1 - s s 2 + 1 . s e n n e s n  

Lembrando de cálculo 1: a soma dos limites é o limite da soma, então vou separar em três limites e analisar cada um deles:

- c o s c o s   n   e s n s 2 + 1   ⏝ 1 º + + 1 s 2 + 1   ⏝ 2 º - s s 2 + 1 . s e n n e s n   ⏝ 3 º

Vamos analisar cada um separadamente?

Passo 6

O primeiro limite:

- c o s c o s   n   e s n s 2 + 1  

Como s é constante, o termo 1 ( s 2 + 1 ) pode sair pra fora do limite:

- 1 s 2 + 1 . c o s c o s   n   e s n  

A parte do cosseno fica sempre entre os valores de - 1 a + 1 quando n aumenta, pois a função cosseno é limitada. Já a exponencial no denominador assume valores cada vez maiores à medida que n aumenta, isso significa que temos um comportamento do tipo 1 ∞ e nosso primeiro limite tende à zero.

- 1 s 2 + 1 . c o s c o s   n   e s n   = 0

Passo 7

O segundo limite:

+ 1 s 2 + 1  

Como s é constante, todo termo 1 s 2 + 1 pode sair pra fora do limite:

1 s 2 + 1 . 1   = 1 s 2 + 1

Esse segundo limite independe de n , e assume um valor 1 s 2 + 1 finito.

1 s 2 + 1   = 1 s 2 + 1

Vamos para o terceiro limite?

Passo 8

O primeiro limite:

s s 2 + 1 . s e n n e s n  

Como s é constante, aquele parênteses todo pode sair pra fora do limite:

s s 2 + 1 . s e n n e s n  

A parte do seno fica sempre entre os valores de - 1 a + 1 quando n aumenta, pois a função seno também é limitada. Já a exponencial no denominador assume valores cada vez maiores à medida que n aumenta, isso significa que temos um comportamento do tipo 1 ∞ e nosso primeiro limite tende à zero.

s s 2 + 1 . s e n n e s n   = 0

Passo 9

Agora vamos juntar todos esses resultados:

a n   =

= - c o s c o s   n   e s n s 2 + 1   ⏝ 1 º + + 1 s 2 + 1   ⏝ 2 º - s s 2 + 1 . s e n n e s n   ⏝ 3 º

= 0 + 1 s 2 + 1 + 0 = 1 s 2 + 1

a n   = 1 s 2 + 1

E a alternativa que nos diz isso é a letra (e)

Beleza?

Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

e

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