Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Regra de L'Hôpital e Teorema do Confronto

Ver Teoria
Exercício 4112345678910111213141516171819202122232425262728293031323334353637383940424344454647484950515253545556575859606162636465

Enunciado

UFSC, Joinville, Cálculo I, Exercícios para Avaliação - 1ª Avaliação, Questão 6c

6. Calcule os seguintes limites:

c) lim x → 0 ⁡ e x - 1 2 cos ⁡ x - 1

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema temos apenas que calcular o limite de f x = e x - 1 2 cos ⁡ x - 1 para x → 0 .

Parece complicado? 😬

Se simplesmente tentássemos substituir x por 0 iriamos cair em uma indeterminação 0 / 0 então quando isso acontece a primeira coisa que podemos pensar em aplicar é a regra de L ' H o p i t a l .

Esse método consiste em derivar o numerador e o denominador da fração de um limite para contornar o problema da indeterminação.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Calculando o limite do problema

lim x → 0 ⁡ e x - 1 2 cos ⁡ x - 1 = 0 0

Aplicando a regra de L ' H o p i t a l ...

lim x → 0 ⁡ e x - 1 2 cos ⁡ x - 1 = lim x → 0 ⁡ d e x - 1 2 d x d cos ⁡ x - 1 d x

Pelo teorema fundamental do cálculo e pela regra da cadeia, temos, temos

d e x - 1 2 d x = d e 2 x - 2 e x + 1 d x = 2 e 2 x - 2 e x

d cos ⁡ x - 1 d x = - sin ⁡ x

Substituindo no limite...

lim x → 0 ⁡ e x - 1 2 cos ⁡ x - 1 = lim x → 0 ⁡ 2 e 2 x - 2 e x - sin ⁡ x = 0 0

Novamente caímos em uma indeterminação... e agora? 🤔

Passo 3

Como caímos em outra indeterminação temos que aplicar a regra de L ' H o p i t a l novamente

lim x → 0 ⁡ e x - 1 2 cos ⁡ x - 1 = lim x → 0 ⁡ d 2 e 2 x - 2 e x d x d - sin ⁡ x d x

Novamente pelo teorema fundamental de cálculo e pela regra da cadeia...

d 2 e 2 x - 2 e x d x = 4 e 2 x - 2 e x

d - sin ⁡ x d x = - cos ⁡ x

Substituindo no limite...

lim x → 0 ⁡ e x - 1 2 cos ⁡ x - 1 = lim x → 0 ⁡ 4 e 2 x - 2 e x - cos ⁡ x = 4 e 2 0 - 2 e 0 - cos ⁡ 0

lim x → 0 ⁡ e x - 1 2 cos ⁡ x - 1 = 4 - 2 - 1

lim x → 0 ⁡ e x - 1 2 cos ⁡ x - 1 = - 2

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

lim x → 0 ⁡ e x - 1 2 cos ⁡ x - 1 = - 2

Exercícios de Livros Relacionados

Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.24- ∑ n = 1 ∞ - 1 n a r c t gn n
Demonstre que se l i m n → ∞a n = 0 e b n for limitada, então l i m n → ∞ a n b n = 0
Teoria e exemplos - Teorema da sequência intercalada: Prove o “teorema da sequência intercalada” para as sequências: { a n } e { b n } convergem para L , então a sequência a 1 , b 1 , a 2 , b 2 , ⋅ ⋅
Teoria e exemplos: Prove o Teorema 2.
A sequência {n/(n + 1)} tem um menor limitante superior igual a 1. Mostre que se M é um número menor que 1, então os termos de {n/(n + 1)} finalmente excedem M. Sendo assim, se M  M sempre que nN. Com