Exercícios Resolvidos de Regra de L'Hôpital e Teorema do Confronto

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Enunciado

6. Calcule os seguintes limites:

c) lim x → 0 ⁡ e x - 1 2 cos ⁡ x - 1

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema temos apenas que calcular o limite de f x = e x - 1 2 cos ⁡ x - 1 para x → 0 .

Parece complicado? 😬

Se simplesmente tentássemos substituir x por 0 iriamos cair em uma indeterminação 0 / 0 então quando isso acontece a primeira coisa que podemos pensar em aplicar é a regra de L ' H o p i t a l .

Esse método consiste em derivar o numerador e o denominador da fração de um limite para contornar o problema da indeterminação.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Calculando o limite do problema

lim x → 0 ⁡ e x - 1 2 cos ⁡ x - 1 = 0 0

Aplicando a regra de L ' H o p i t a l ...

lim x → 0 ⁡ e x - 1 2 cos ⁡ x - 1 = lim x → 0 ⁡ d e x - 1 2 d x d cos ⁡ x - 1 d x

Pelo teorema fundamental do cálculo e pela regra da cadeia, temos, temos

d e x - 1 2 d x = d e 2 x - 2 e x + 1 d x = 2 e 2 x - 2 e x

d cos ⁡ x - 1 d x = - sin ⁡ x

Substituindo no limite...

lim x → 0 ⁡ e x - 1 2 cos ⁡ x - 1 = lim x → 0 ⁡ 2 e 2 x - 2 e x - sin ⁡ x = 0 0

Novamente caímos em uma indeterminação... e agora? 🤔

Passo 3

Como caímos em outra indeterminação temos que aplicar a regra de L ' H o p i t a l novamente

lim x → 0 ⁡ e x - 1 2 cos ⁡ x - 1 = lim x → 0 ⁡ d 2 e 2 x - 2 e x d x d - sin ⁡ x d x

Novamente pelo teorema fundamental de cálculo e pela regra da cadeia...

d 2 e 2 x - 2 e x d x = 4 e 2 x - 2 e x

d - sin ⁡ x d x = - cos ⁡ x

Substituindo no limite...

lim x → 0 ⁡ e x - 1 2 cos ⁡ x - 1 = lim x → 0 ⁡ 4 e 2 x - 2 e x - cos ⁡ x = 4 e 2 0 - 2 e 0 - cos ⁡ 0

lim x → 0 ⁡ e x - 1 2 cos ⁡ x - 1 = 4 - 2 - 1

lim x → 0 ⁡ e x - 1 2 cos ⁡ x - 1 = - 2

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

lim x → 0 ⁡ e x - 1 2 cos ⁡ x - 1 = - 2

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