Exercícios Resolvidos de Regra de L'Hôpital e Teorema do Confronto

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Enunciado

Calcule os limites, usando a regra de L’Hopital.

c)

lim x → + ∞ ⁡ 1 + 3 x 2 x

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para determinarmos o resultado do limite utilizando a regra de L’Hospital.

Usamos essa regrinha quando ocorrem indeterminações no momento em que tentamos resolver o limite normalmente.

Além disso, para esse caso, precisamos fazer algumas manipulações algébricas para realizar o limite por L’Hospital.

Não entendeu? Então bora junto 😉

Passo 2

Bom... sabemos que e ln ⁡ x = x , portanto:

lim x → + ∞ ⁡ e ln ⁡ 1 + 3 x 2 x     ∴

lim x → + ∞ ⁡ e 2 x   ln ⁡ 1 + 3 x     ∴

e lim x → + ∞ ⁡ 2 x   ln ⁡ 1 + 3 x    

Agora, pegamos apenas o termo do expoente e aplicamos L’Hospital.

Agora aplicamos ao limite!!

Passo 3

Derivando o numerador e o denominador (L’Hospital), temos:

ln ⁡ 1 + 3 x ' 1 2 x '   ∴

6 x 2 x ( x + 3 )

Derivando novamente pois a indeterminação continua:

6 x ' x + 3 ' ∴

6 1

Passo 4

Fazendo a substituição no expoente, temos que:

e lim x → + ∞ ⁡ 2 x   ln ⁡ 1 + 3 x     = e 6

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

e 6

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