UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral III, Listas - Prof° Pammella Queiroz - Lista 1 - 2022.1, Questão 2.6b
Mostre que
b) . Use coordenadas polares e a regra de L’Hopital.
Passo 1
Eaí pessoaaal, tudo certinho?
Nessa questão precisamos mostrar que:
Ou seja, vamos calcular esse limite e mostrar que ele vale . Para isso, o enunciado nos manda usar coordenadas polares e a regra de L’hopital.
Gente, a ideia de coordenadas polares mais tranquila do que parece. Sabem que costumamos nos orientar em um plano cartesiano usando né?
Com coordenadas polares, nos orientamos usando , onde:
E, a relação talvez mais importante em coordenadas polares é que:
Massa! Depois de usarmos essa ideia, vamos usar a regra de L’hopital. Ela basicamente nos diz que se um do tipo:
tem uma indeterminação do tipo ou , então podemos afirmar que:
Tranquilo? Agora que já revisamos essas ideias vamos aplicá-las 😊
Passo 2
Começando pela ideia de coordenadas polares! Temos:
Se fizermos:
Teremos que e o nosso limite vira:
Ou seja, após usar coordenadas polares nosso problema se resumiu a resolver o limite de função de uma variável:
Excelente!
Passo 3
Pra resolver esse limite, deveremos usar L’hopital. Mas, para usá-lo precisamos antes verificar se ocorre algo do tipo ou nele. Por isso, vamos substituir pelo número que ele está tendendo:
Vuoualá! De fato, é algo do tipo . Então, usando L’hopital podemos escrever que:
Vamos então calcular essas derivadas separadamente:
onde
Assim:
Beleza! Vamo pro próximo!
Substituindo no nosso limite, temos:
Se substituirmos novamente por , teremos:
Outra indeterminação. Então, podemos aplicar L’hopital mais uma vez!
Passo 4
Usando L’hopital novamente:
Calculando essas derivadas individualmente:
Pela regra do produto:
Já para o denominador:
Substituindo no limite, temos:
Daí, tentando novamente substituir por (e cruzando os dedos pra não aparecer outra indeterminação haha), temos:
Olha que lindooo!! Finalmente chegamos que:
Como queríamos provar 😊
Então finalizamos gente! Obrigado pela atenção, até a próxima 😊
Resposta
Resposta no texto.