Exercícios Resolvidos de Regra de L'Hôpital e Teorema do Confronto

Ver Teoria

Enunciado

6. Calcule os seguintes limites:

d) lim x → 0 ⁡ e x - 1 t g x

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema temos apenas que calcular o limite de f x = e x - 1 t g x para x → 0 .

Parece complicado? 😬

Se simplesmente tentássemos substituir x por 0 iriamos cair em uma indeterminação 0 / 0 então quando isso acontece a primeira coisa que podemos pensar em aplicar é a regra de L ' H o p i t a l .

Esse método consiste em derivar o numerador e o denominador da fração de um limite para contornar o problema da indeterminação.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Calculando o limite do problema

lim x → 0 ⁡ e x - 1 t g x = 0 0

Aplicando a regra de L ' H o p i t a l ...

lim x → 0 ⁡ e x - 1 t g x = lim x → 0 ⁡ d e x - 1 d x d t g x d x

Pelo teorema fundamental do cálculo e pela regra da cadeia, temos, temos

d e x - 1 d x = e x

d t g x d x = sec 2 ⁡ x

Substituindo no limite...

lim x → 0 ⁡ e x - 1 t g x = lim x → 0 ⁡ e x sec 2 ⁡ x = e 0 sec 2 ⁡ 0

lim x → 0 ⁡ e x - 1 t g x = 1

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

lim x → 0 ⁡ e x - 1 t g x = 1

Exercícios de Livros Relacionados

Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.24- ∑ n = 1 ∞ - 1 n a r c t gn n
Demonstre que se l i m n → ∞a n = 0 e b n for limitada, então l i m n → ∞ a n b n = 0
Teoria e exemplos - Teorema da sequência intercalada: Prove o “teorema da sequência intercalada” para as sequências: { a n } e { b n } convergem para L , então a sequência a 1 , b 1 , a 2 , b 2 , ⋅ ⋅
Teoria e exemplos: Prove o Teorema 2.
A sequência {n/(n + 1)} tem um menor limitante superior igual a 1. Mostre que se M é um número menor que 1, então os termos de {n/(n + 1)} finalmente excedem M. Sendo assim, se M  M sempre que nN. Com