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Exercícios Resolvidos de Regra de L'Hôpital e Teorema do Confronto

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Enunciado

UFSC, Joinville, Cálculo I, Exercícios para Avaliação - 1ª Avaliação, Questão 9

9. A função

f x = e x - 1 2 cos ⁡ x - 1 ,     s e   x < 0 1 ,     s e   x ≥ 0

É continua no intervalo - π 2 , π 2 ?

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema foi dada uma função definida por partes em que para x < 0 a função é dada por e x - 1 2 cos ⁡ x - 1 e para x ≥ 0 a função é constante e igual a 1 .

Com isso queremos saber se a função é continua no intervalo - π 2 , π 2 .

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Se analisarmos a primeira parte da função, vamos ver que em x = 0 vamos cair em uma indeterminação 0 / 0 , então para verificar se f é contínua, temos que calcular o limite dessa primeira parte e ver se ela tende a segunda parte de f quando x se aproxima de 0 .

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Em outras palavras, o que temos que fazer é verificar se esse limite é satisfeito...

lim x → 0 ⁡ e x - 1 2 cos ⁡ x - 1 = 1

Se sim, é porque a função f é contínua.

Calculando o limite do problema

lim x → 0 ⁡ e x - 1 2 cos ⁡ x - 1 = 0 0

Aplicando a regra de L ' H o p i t a l derivando o numerador e o denominador...

lim x → 0 ⁡ e x - 1 2 cos ⁡ x - 1 = lim x → 0 ⁡ d e x - 1 2 d x d cos ⁡ x - 1 d x

Pelo teorema fundamental do cálculo e pela regra da cadeia, temos, temos

d e x - 1 2 d x = d e 2 x - 2 e x + 1 d x = 2 e 2 x - 2 e x

d cos ⁡ x - 1 d x = - sin ⁡ x

Substituindo no limite...

lim x → 0 ⁡ e x - 1 2 cos ⁡ x - 1 = lim x → 0 ⁡ 2 e 2 x - 2 e x - sin ⁡ x = 0 0

Novamente caímos em uma indeterminação... e agora? 🤔

Passo 3

Como caímos em outra indeterminação temos que aplicar a regra de L ' H o p i t a l novamente

lim x → 0 ⁡ e x - 1 2 cos ⁡ x - 1 = lim x → 0 ⁡ d 2 e 2 x - 2 e x d x d - sin ⁡ x d x

Novamente pelo teorema fundamental de cálculo e pela regra da cadeia...

d 2 e 2 x - 2 e x d x = 4 e 2 x - 2 e x

d - sin ⁡ x d x = - cos ⁡ x

Substituindo no limite...

lim x → 0 ⁡ e x - 1 2 cos ⁡ x - 1 = lim x → 0 ⁡ 4 e 2 x - 2 e x - cos ⁡ x = 4 e 2 0 - 2 e 0 - cos ⁡ 0

lim x → 0 ⁡ e x - 1 2 cos ⁡ x - 1 = 4 - 2 - 1

lim x → 0 ⁡ e x - 1 2 cos ⁡ x - 1 = - 2

Portanto f não é contínua.

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

Não é contínua.

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