UFJF – Equações Diferenciais – Lista 9 – Questão 2a
Nos exercícios seguintes, verificar se as séries dadas são convergentes ou divergentes
e, no caso de convergência, dizer se é convergência absoluta ou condicional.
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Precisamos decidir se essa série aqui
É convergente ou divergente. E em caso de convergência, dizer ainda se a convergência é absoluta ou condicional. Mas você lembra desses conceitos?
Dizemos que uma série converge absolutamente quando o módulo da série converge! E aqui você pode usar qualquer teste para ver isso!
E quando o módulo diverge? Aí aplicamos o teste das séries alternadas! Se a série alternada convergir, dizemos que a série converge condicionalmente.
E se a série alternada diverge? Então a série é divergente mesmo!
Mas pode ficar tranquilo, vou fazer passo a passo com você!
Vamos começar?
Passo 2
Nossa série é
Agora a pergunta de milhões: qual teste escolher? Como temos uma razão de polinômio com exponencial: podemos usar o teste da razão para convergência absoluta
Relembrando dos critérios para o teste da razão:
Supondo uma série do tipo
Fazendo
Temos três cenários
- Se : dizemos que a série converge absolutamente
- Se : dizemos que a série diverge
- Se : teste é inconclusivo
Nossa missão agora é determinar a razão . Mas primeiro, vamos achar e :
Não esquece que esses vão sumir porque estamos trabalhando com módulo. Então a nossa razão vai ficar:
Tudo bem até aqui?
Agora vamos avaliar o limite!
Passo 3
Agora vamos calcular o limite!
Nosso instinto é substituir por , mas aí temos uma indeterminação do tipo . Nessas ocasiões, podemos pensar que no infinito irão se sobrepor os termos de maior expoente! sendo assim, podemos desconsiderar os outros termos
Aí nosso limite fica
E esse valor é menor do que ! Isso significa que nossa série converge absolutamente!
Vamos praticar mais?